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2-4数学竞赛中的数论问题（09-10-28）

数论是研究自然数的一个数学分支.

一、数学竞赛中数论问题的基本内容

主要有8个定义、15条定理.

定义1（带余除法）给定整数a,b,b¹0,如果有整数q,r0£rb满足

a=qb+r，

则q和r分别称为a除以的商和余数．特别的，时，则称a被整除，记作ba，

br=0b

或者说a是的倍数，而是a的约数．

bb

定义2（最小公倍数）非零整数a,a,L,a的最小公倍数是能被其中每一个

12n

a1£i£n所整除的最小正整数，记作a,a,L,a．

i12n

定义3（最大公约数）设整数a,a,L,a中至少有一个不等于零，这n个数的最大

12n

公约数是能整除其中每一个整数的最大正整数，记作a,a,L,a．

12n

定理1对任意的正整数，有

a,b×a,b=ab．



定义4如果整数a,b满足a,b=1，则称a与是互素的（以前也称为互质）．

b

定义5大于1且除1及其自身外没有别的正整数因子的正整数，称为素数（以前也称

为质数）．其余大于1的正整数称为合数；数1既不是素数也不是合数．

定理2素数有无穷多个，2是唯一的偶素数．

定义6对于整数a,b,c，且c¹0，若c(a-b)，则称a,b关于模c同余，记

aºb(modc)作若则称a,b关于模c不同余，记作ab(modc)．

定理3（整除的性质）设整数a,b,c为非零整数，

（1）若cb，ba，则ca；

（2）若ca，则bcab；

（3）若ca，cb，则对任意整数m,n，有cma+nb；

（4）若a,b=1，且abc，则ac；



（5）若a,b=1，且ac,bc，则abc



（6）若a为素数，且abc，则ab或ac．

定理4（同余的性质）设a,b,c,d,m为整数，m0,

（1）若aºb(modm)且bºc(modm)，则aºc(modm)；

（2）若aºb(modm)且cºd(modm)，则a+cºb+d(modm)且

acºbd(modm)．

nn

（3）若aºb(modm)，则对任意的正整数n有a