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线性代数期末考试题及答案

一、选择题（每题3分，共15分）

1.设\(A\)为\(3\)阶方阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A\vert\)的值为（）

A.\(2\)B.\(4\)C.\(8\)D.\(16\)

2.设向量组\(\alpha_1=(1,0,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1,0)^T\)，\(\alpha_3=(0,0,1)^T\)，\(\beta=(1,1,1)^T\)，则\(\beta\)由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示的表达式为（）

A.\(\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)B.\(\beta=\alpha_1\alpha_2+\alpha_3\)

C.\(\beta=\alpha_1+\alpha_2\alpha_3\)D.\(\beta=-\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)

3.设\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，\(B\)是\(n\timesm\)矩阵，则（）

A.当\(mn\)时，必有行列式\(\vertAB\vert\neq0\)

B.当\(mn\)时，必有行列式\(\vertAB\vert=0\)

C.当\(nm\)时，必有行列式\(\vertAB\vert\neq0\)

D.当\(nm\)时，必有行列式\(\vertAB\vert=0\)

4.设\(A\)为\(n\)阶可逆矩阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，则\(A^{-1}\)的特征值是（）

A.\(\frac{1}{\lambda}\)B.\(-\lambda\)C.\(\lambda\)D.\(\lambda^2\)

5.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+2x_2x_3\)的矩阵为（）

A.\(\begin{pmatrix}120\\221\\013\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}120\\021\\003\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}140\\022\\003\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}120\\241\\016\end{pmatrix}\)

二、填空题（每题3分，共15分）

1.已知行列式\(\begin{vmatrix}ab\\cd\end{vmatrix}=3\)，则\(\begin{vmatrix}2a2b\\cd\end{vmatrix}=\)______。

2.设向量组\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,4,6)^T\)，则该向量组的秩为______。

3.设\(A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)为______。

4.已知\(3\)阶矩阵\(A\)的特征值为\(1,2,3\)，则\(\vertA\vert=\)______。

5.若二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2tx_1x_22x_1x_3+4x_2x_3\)是正定的，则\(t\)的取值范围是______。

三、计算题（每题10分，共50分）

1.计算行列式\(\begin{vmatrix}123\\456\\789\end{vmatrix}\)的值。

2.设\(A=\begin{pmatrix}123\\212\\134\end{pmatrix}\)，求\(A\)的逆矩阵\(A^{-1}\)。

3.求向量组\(\alpha_1=(1,1,2,4)^T\)，\(\alpha_2=(0,3,1,2)^T\)，\(\alpha_3=(3,0,7,14)^T\)，\(\alpha_4=(1,2,2,0)^T\)的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。

4.求矩阵\(A=\begin{pmatrix}212\\533\\102\end{pmatrix}\)的特征值和特征向量。

5.用正交变换化二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_2x_3\)为标准形，并写出所用的正交变换。

四、证明题（每题10分，共20分）

1.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB