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一类具有强阻尼的四阶波动方程初边值问题的位势井方法

摘要

本文针对一类具有强阻尼的四阶波动方程初边值问题，深入研究位势井方法在该问题中的应用。通过构建合适的能量泛函，定义位势井深度与相关集合，分析能量泛函的性质和方程解的行为。探讨解的整体存在性与爆破性条件，揭示强阻尼项对解的影响机制，为该类方程的研究提供理论依据和方法参考。

关键词

强阻尼；四阶波动方程；初边值问题；位势井方法；整体存在性；爆破性

一、引言

四阶波动方程在弹性力学、流体力学、生物数学等众多领域有着广泛的应用背景，如描述弹性板的振动、薄膜的变形等物理现象。当方程中引入强阻尼项时，其动力学行为变得更加复杂且丰富，对这类方程的研究有助于更准确地理解相关物理过程和数学规律。

位势井方法作为研究非线性偏微分方程的重要工具，通过定义合适的能量泛函和位势井，能够有效地分析方程解的整体存在性、爆破性以及长时间行为。在研究具有强阻尼的四阶波动方程初边值问题时，位势井方法可以结合强阻尼项的特性，深入挖掘方程解的内在性质，为解决此类问题提供独特的视角和有力的手段。

目前，对于四阶波动方程的研究已取得了许多重要成果，但针对具有强阻尼的四阶波动方程初边值问题，利用位势井方法进行系统研究仍存在一些有待深入探讨的问题，如强阻尼项对解的爆破阈值的影响、在不同边界条件下解的行为差异等。本文旨在通过位势井方法，对这类方程进行更深入的分析，完善相关理论。

二、方程与初边值条件

考虑如下具有强阻尼的四阶波动方程初边值问题：

\begin{cases}u_{tt}+\alphau_{t}+\Delta^2u+f(u)=0,(x,t)\in\Omega\times(0,+\infty)\\u(x,t)=\Deltau(x,t)=0,(x,t)\in\partial\Omega\times(0,+\infty)\\u(x,0)=u_0(x),x\in\Omega\\u_t(x,0)=u_1(x),x\in\Omega\end{cases}

其中，\Omega是\mathbb{R}^n中的有界区域，边界\partial\Omega足够光滑；\alpha0为强阻尼系数，\Delta^2=\Delta(\Delta)是双调和算子；f(u)是非线性项，满足一定的增长条件，如f\inC^1(\mathbb{R},\mathbb{R})且存在正常数p和C，使得

|f^{\prime}(u)|\leqC(1+|u|^{p-1}),\quadp1

初值u_0(x)\inH_0^2(\Omega)，u_1(x)\inL^2(\Omega)，H_0^2(\Omega)是C_0^{\infty}(\Omega)在H^2(\Omega)中的闭包，H^2(\Omega)是通常的二阶Sobolev空间。

三、能量泛函与位势井定义

3.1能量泛函

定义能量泛函E(t)为：

E(t)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}(u_t^2+|\Deltau|^2)dx-\int_{\Omega}F(u)dx

其中F(u)=\int_0^uf(s)ds。对E(t)求导，利用分部积分和方程（1）可得：

\begin{align*}E^{\prime}(t)=\int_{\Omega}(u_tu_{tt}+\Deltau\cdot\Deltau_t)dx-\int_{\Omega}f(u)u_tdx\\=\int_{\Omega}u_t(-\alphau_t-\Delta^2u-f(u))dx+\int_{\Omega}\Deltau\cdot\Deltau_tdx\\=-\alpha\int_{\Omega}u_t^2dx\end{align*}

由此可知，能量泛函E(t)是单调递减的，即E^{\prime}(t)\leq0，这反映了强阻尼项对系统能量的耗散作用。

3.2位势井定义

定义位势井深度函数J(u)为：

J(u)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}|\Deltau|^2dx-\int_{\Omega}F(u)dx

以及Nehari流形N为：

N=\{u\inH_0^2(\Omega)\setminus\{0\}:\langleJ^{\prime}(u),u\rangle=0\}

其中\langle\cdot,\cdot\rangle表