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高考数学复习《利用导数解决双变量问题》强化训练含答案

一、解答题

1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若，为函数的两个零点，求证：．

2．（2024·浙江绍兴·三模）若函数有且仅有一个极值点，函数有且仅有一个极值点，且，则称与具有性质．

(1)函数与是否具有性质？并说明理由．

(2)已知函数与具有性质．

（i）求的取值范围；

（ii）证明：．

3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．

(1)若存在零点，求a的取值范围；

(2)若，为的零点，且，证明：．

4．（2024·安徽阜阳·一模）已知函数．

(1)讨论的单调性．

(2)已知是函数的两个零点．

（ⅰ）求实数的取值范围．

（ⅱ）是的导函数．证明：．

5．（2024·全国·模拟预测）已知函数有3个极值点，其中是自然对数的底数．

(1)求实数的取值范围；

(2)求证：．

6．（2023·福建龙岩·二模）已知函数，．

(1)若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；

(2)若，且，证明：．

7．（2023·新疆·三模）已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围，并证明．

8．（2023·上海松江·模拟预测）已知函数.

(1)若，求函数的极值点；

(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若函数有三个不同的极值点、、，且，求实数a的取值范围.

9．（2023·山东德州·三模）已知函数，其中．

(1)当时，求函数在处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．

10．（2023·全国·模拟预测）已知函数.

(1)设函数，若恒成立，求的最小值；

(2)若方程有两个不相等的实根、，求证：.

11．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数.

(1)若函数为增函数，求的取值范围；

(2)已知.

（i）证明：；

（ii）若，证明：.

12．（2023·天津河西·模拟预测）已知．

(1)求在处的切线方程；

(2)对，有恒成立，求的最大整数解；

(3)令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求的取值范围，并证明：．

13．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知函数，，其中e为自然对数的底数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，有，求证：对，有；

(3)若，且，求实数a的取值范围．

14．（2023·浙江嘉兴·二模）已知.

(1)若存在实数，使得不等式对任意恒成立，求的值；

(2)若，设，证明：

①存在，使得成立；

②.

15．（2023·湖北咸宁·模拟预测）已知函数，其中.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数存在三个零点、、（其中），证明：

（i）若，函数，使得；

（ii）若，则.

16．（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：

???????

①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；

②圆与曲线在点处有相同的切线；

③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；

则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．

(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程；

(2)求曲线的曲率半径的最小值；

(3)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．

高考数学复习《利用导数解决双变量问题》强化训练含答案

一、解答题

1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若，为函数的两个零点，求证：．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）首先求函数的导数，再分和两种情况求解不等式，根据导数与单调性的关系，即可求解；

（2）代入函数的零点，并变形为，，并利用分析法，将所证明不等式转化为证明，再通过构造函数，，利用导数判断函数的单调性，即可证明.

【解析】（1），．

当时，，则在上单调递增．

当时，令，得，解得．

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增．

综上：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）设，则，，

所以，

所以，，

记，要证，只需证，

只需证，只需证．

记，，则，

记，，

由（1）可知，取，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，即，所以在上单调递增，

又，所以，所以成立．

【点睛】关键点点睛：本题第2问的关键是将将函数零点的式子，结合分析法，进行变形，转化为判断函数，的单调性，即可证明.

2．（2024·浙江绍兴·三模）若函数有且仅有一个极值点，函数有且仅有一个极值点，且，则称与具有性质．

(1)函数与是否具有性质？并说明理由．

(2)已知函数与具有性质．

（i）求的取值范围；

（ii）证明：．

【答案】(1)具有，理由见解析

(2)（i）；（ii）证明见解析

【分析】（1）借助导