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2025年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题(一)加试

一、求所有的非负整数k,m

1

二、给定正整数n.设非负实数a1,a2,?,an满足对任意下标i,j,若i

a

的最大可能值.

三、如图,在锐角△ABC中,I是内心,I是I关于BC的对称点,Ω是外接圆.过A分别作BI,CI的垂线,交圆Ω的优弧ACB,ABC于另外的两点P,Q.点S在圆Ω的优弧BAC上,且SI交Ω于另一点T.点U,V分别在直线PT和QT上,满足U,V,I在直线BC的同一侧,且∠CBU

四、考虑一个10×10×10的大正方体,将它划分为103个1×1×1的单位小正方体.将每个小正方体染上一种颜色,使得大正方体的任一

2025年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题(二)

一、称实数α为好数,是指存在各项均为整数的数列ann∈N+,满足:对任意正整数n,均有an+1=αan

(1)求证:若α是好数,则α1且α

(2)求证:存在无穷多个互不相同的好数.

二、设V是空间中若干个点所成集合,其中任意四点不共面.某些点之间连有线段,记E为这些线段构成的集合.已知无论怎样将E所含每条线段染为红蓝两种颜色之一,都能找到V中的三个点构成三边均为红色或三边均为蓝色的三角形.求E所含线段个数m的最小可能值.

三、如图,圆O1与圆O2外切于点T.过圆O2上的一点X作切线,交圆O1于A,B两点,延长XT交圆O1于点S.在圆O1的劣弧TS上取一点C,延长SC交∠BAC的平分线于点I.过A,T,X

四、记Sqa为正整数a在q进制下的各位数码之和,其中q是不小于2的整数.求最大的正整数k,使得对正整数的任意无穷子集S,均存在整数1q1q2?q100和S中的k个不同正整数a1,a2,?,a

五、给定正整数n.求最小的实数S,使得无论怎样将坐标平面xOy中的每个整点染为n种不同颜色之一,都一定存在三个不共线且颜色相同的整点A,B,C,满足△ABC

六、已知映射f:{1,2,?,301}→{1,2,?,301

f

求S=f1

2025年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题(三)加试

一、求最小的正实数M,具有性质:对任意和是1的六个非负实数a1,?,a6,存在和是1的六个非负实数b1,?,b6,使得对任意

二、如图,四边形ABCD内接于圆Ω.过A作Ω的切线,交直线BC于点E.过A作AD的垂线,交直线CD于点F.设△BCF的外心为O,过E作AO的垂线,垂足为K.求证:∠EKB与∠BAD

三、对实数数列a1,a2,?,an,

上子列,指ai1?aik

a

下子列,指ai1?aik

a

求最小的正整数N,具有性质:在任一由互不相同实数构成的N项数列中,或者存在20项的上子列,或者存在25项的下子列.

四、给定整数m,n≥2.求最大的正整数k,使得存在k个不被m整除的整数,具有性质:对其中任意若干个数(至少一个),若它们的和被n整除,则它们的和就被

2025年中国数学奥林匹克协作体夏令营A水平答案与评分标准辽宁·大连

考试时间:2025年7月20日上午8:00—12:30

一、(本题满分50分)称实数α为好数,是指存在各项均为整数的数列ann∈N+,满足:对任意正整数n,均有an+1=αan,且an是偶数当且仅当n是偶数

(1)证明:若α是好数,则α1且α

(2)证明:存在无穷多个互不相同的好数.

(1)证明:我们分别证否α=1,

若α=1,则a2=±a1,从而

若α1,则αanan-1

10分

若α∈Z,则由a2是偶数以及a3=αa2可知

综合以上讨论,我们就证明了α1且α

20分

(2)证明:我们说明:对任意正偶数k,均有α=k+

定义β=k-k2-1,则α

a

则特征根方法表明数列an有递推关系a

不难验证a1=2k2-1是奇数且a2=4k3-3k是偶数,于是由递推式可知an是整数数列.又因为an

最后验证递推式an+

α

则由an+1∈Z可知an+1

综上所述,我们就证明了存在无穷多个互不相同的好数.50分

二、(本题满分50分)设V