(人教A版数学选择性必修二)讲义第13讲5.3.2函数的极值与最大(小)值(学生版+解析).docxVIP

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第04讲5.3.2函数的极值与最大（小）值

课程标准

学习目标

①.理解函数极值最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系。

②掌握函数极值的判定及求法。

③掌握函数在某一点取得极值的条件。

④能根据极值点与极值的情况求参数范围。

⑤会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题。

⑥会求某闭区间上函数的最值

⑦理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围

1.通过本节课的学习要求会求函数的极值、极值点；能解决与极值点相关的参数问题；并能利用极值解决方程的根与函数的交点问题.；

2.通过本节课的学习，要求会求函数在局部区间的最大（小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题；

知识点01、函数的极值

一般地，对于函数，

（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.

（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．

（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.

注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.

【即学即练1】（2023上·广东东莞·高三校考阶段练习）若函数，则的极大值点为.

【答案】2

【详解】，

令，解得或6，

当或时，，单调递增，

当时，，单调递减，

故在取得极大值，故极大值点为2.

故答案为：2

知识点02、函数的最大（小）值

一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.

设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：

（1）求在内的极值；

（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

【即学即练2】（2023下·湖北十堰·高二统考期末）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则.

【答案】

【详解】因为，

，或，

，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

因为，

所以，故.

故答案为：

知识点03、函数的最值与极值的关系

（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；

（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；

（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；

（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.

【即学即练3】（2023上·天津·高三统考期中）已知函数.

(1)求的单调区间与极值；

(2)求在区间上的最大值与最小值.

【答案】(1)答案见解析；

(2)最大值为54，最小值为.

【详解】（1）由题设，令，得或，

当时，即，解得或，单调递增区间为和.

当时，即，解得，单调递减区间为.

函数的极大值为，极小值为.

（2）由，，，则

且在区间上连续，函数在区间内的最大值为54，最小值为.

题型01函数图象与极值（点）的关系

【典例1】（多选）（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（????）．

A．的单调递增区间是

B．是的极小值点

C．在区间上单调递减，在区间上单调递增

D．是的极小值点

【典例2】（2023·上海·高二专题练习）已知函数，其导函数的图象经过点，，如图所示，则下列说法中正确结论的序号为．

??

①当时函数取得极小值；

②有两个极值点；

③当时函数取得极小值；

④当时函数取得极大值．

【变式1】（多选）（2023上·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（????）

??

A．的单调递增区间是

B．是的极小值点

C．在区间上是减函数，在区间上是增函数

D．是的极小值点

【变式2】（多选）（2023上·新疆喀什·高三统考期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（????）

??

A．在上为减函数 B．在处取极大值

C．在上为减函数 D．在处取极小值

题型02求已知函数的极值（点）

【典例1】（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求的单调区间和极值．

【典例2】（2023上·四川眉山·高三四川省眉山第一中学校考开学考试）若函数，为函数的极值点.

(1)求的值；

(2)求函数的极值.

【变式1】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)求的单调区间与极值．

【变式2】（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）已知是函数的极小值点．

(1)求实数的取值范围；

(2)求的极大值．

题型03根据函数的极值（点）求参数

【典例1】（2023上·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）已知函数在处有极大值，