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高考数学复习《利用导数证明不等式》强化训练含答案
一、单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）已知a，，若，，则b的可能值为（????）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
3．（2024·河南·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（????）
A． B．
C． D．
4．（2024·广东广州·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，且.对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（????）
A． B． C． D．
5．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（????）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（????）
A． B． C． D．
7．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（????）
A． B．
C． D．
8．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·江西·二模）若恒成立，则实数的取值可以是（????）
A．0 B． C． D．
10．（2024·浙江·二模）设定义在R上的函数的导函数为，若，均有，则（????）
A． B．（为的二阶导数）
C． D．是函数的极大值点
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数，则（????）
A．若为减函数，则 B．若存在极值，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知实数满足，则
13．（2024·四川凉山·三模）已知函数的零点为，则．
14．（2024·吉林·二模）若实数满足，则称为函数与的“关联数”.若与在实数集上有且只有3个“关联数”，则实数的取值范围为.
高考数学复习《利用导数证明不等式》强化训练含答案
一、解答题
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间;
(2)若，证明:．
【答案】(1)的单调递减区间为，没有单调递增区间
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求解函数单调性即可.
（2）对要证不等式进行化简，再由第（1）问结论证明即可.
【解析】（1），
令，所以，
由可得，由可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
又因为，所以，即，且至多在一个点处取到.
所以在上单调递减，
故的单调递减区间为，没有单调递增区间.
（2）证明，
只需证：，
即证：，
令，所以，
只需证：，
即证：，
由（1）知，当时，在上单调递减，
所以当时，，
即，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数证明不等式问题.其关键点是对要证不等式进行化简，即证明，再结合第1问求得的单调性证明即可.
2．（2023·天津·二模）已知，函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，设的导函数为，若恒成立，求证：存在，使得；
(3)设，若存在，使得，证明：．
【答案】(1)递增区间为，递减区间为；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析；
【分析】（1）当时，求得，结合导数的符号，即可求解；
（2）当时，求得，根据题意恒成立，取，得到，即可证明；
（3）设，得到，转化为，设，求得，根据，得到，进而得到，进而证得结论．
【解析】（1）由函数，可得其定义域为，
当时，可得，则，
当时，可得，单调递减；
当时，可得，单调递增，
函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）当时，可得，则，
恒成立，即恒成立，令，
若，则，存在，使得，
即，不符合题意，，
取，则，可得
即存在，使得．
（3）由函数，可得，
设，由，可得，
则，
又由，可得，函数为单调递增函数，
，即，
，
设，可得，
当时，，即，，
即，，
代入可得：，
则，．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
3．（2024·四川眉山·三模）已知函数.
(1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围；
(2)若有两个不同极值点.
①求的取值范围；
②当时，证明：.
【答案】(1)；
(2)①；②证明见解
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