【数学】上海市四校（南洋模范中学、大同中学、控江中学、曹杨二中）2023届高三下学期3月联考2数学试卷.docxVIP

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上海市四校（南洋模范中学、大同中学、控江中学、曹杨二中）2023届高三下学期3月联考2数学试卷

学科：数学

考试范围：____；考试时间：____分钟；命题人：____

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号

一

二

总分

得分

注意事项：

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2、请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第Ⅰ卷的文字说明

评卷人

得分

一、选择题（共4题）

1.下列用递推公式表示的数列中，使得成立的是（）

A．

B．

C．

D．

2.已知直线，，则是的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3.如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（）

A．直线与直线CP可能相交

B．直线与直线CP始终异面

C．直线与直线CP可能垂直

D．直线与直线BP不可能垂直

4.已知函数，则其图象大致是（）

A．

B．

C．

D．

第Ⅱ卷（非选择题）

请点击修改第Ⅱ卷的文字说明

评卷人

得分

二、非选择题（共17题）

5.如图，四棱锥中，等腰的边长分别为，，矩形ABCD所在的平面与平面PAB垂直．

(1)如果，求直线PC与平面PAB所成的角的大小：

(2)如果，求BC的长．

6.函数的表达式为，如果且，则abc的取值范围为__________．

7.若，且，则__________．

8.雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设：

假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”：

假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线；

假设3：伞柄OT长为，可绕矩形“纸片人”上点O旋转；

假设4：伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB，．

以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”．

(1)如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）；

(2)请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分）

9.向量为直线中的法向量，则向量在方向上的投影为________．

10.函数的最小正周期为__________．

11.已知函数

(1)若1是的极值点，求a的值；

(2)求的单调区间：

(3)已知有两个解，

（i）直接写出a的取值范围；（无需过程）

（ii）λ为正实数，若对于符合题意的任意，当时都有，求λ的取值范围.

12.长方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为V的水，已知，，，如果将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则V的取值范围为__________．

13.已知椭圆经过点，，为椭圆的左右焦点，为平面内一个动点，其中，记直线与椭圆在x轴上方的交点为，直线与椭圆在x轴上方的交点为．

(1)求椭圆的离心率；

(2)若，证明：；

(3)若，求点Q的轨迹方程．

14.自2015年上海启动《上海绿道专项规划（2035）》至今上海已建成绿道总长度近1600公里．根据《上海市气态空间专项规划（2021—2035）》，到2035年，上海绿道总长度将超过2000公里．届时，绿道会像城市的毛细血管一样，延伸到市民生活的各个角落，绿荫卜的绿道（步道、骑行道）给市民提供了散步休憩、跑步骑行运动的生态空间．某一线品牌自行车制造商在布局线下自行车体验与销售店时随机调研了1000位市民，调研数据如表1所示．166位有意愿购买万元级运动自行车的受访者的年龄（单位：岁），在各区间内的频数记录如表2所示．

表1

有意愿购买万元级运动自行车

没有意愿购买万元级运动自行车

总计

距家2千米内有骑行绿道

118

270

距家2千米内无骑行绿道

总计

166

1000

表2

年龄分组区间

频数

16

24

35

30

21

15

11

6

5

3

(1)试估计有意愿购买万元级运动自行车人群的平均年龄