高考数学复习《利用导数解决零点、交点、方程根等问题》强化训练含答案.docxVIP

高考数学复习《利用导数解决零点、交点、方程根等问题》强化训练含答案

一、解答题

1．（2024·北京顺义·三模）已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求证：函数存在极小值；

(3)求函数的零点个数.

2．（2024·湖南常德·一模）已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)证明：；

(3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围．

3．（2024·陕西商洛·三模）已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，若函数和的图象在上有交点，求实数的取值范围．

4．（2024·湖南岳阳·三模）已知的三个角的对边分别为且，点在边上，是的角平分线，设（其中为正实数）．

(1)求实数的取值范围；

(2)设函数

①当时，求函数的极小值；

②设是的最大零点，试比较与1的大小．

5．（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)讨论的零点个数；

(2)若有两个零点，证明：两个零点之和大于4．

6．（2024·河北邯郸·二模）已知函数．

(1)是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

(2)已知是的零点，是的零点．

①证明：，

②证明：．

7．（2023·河南信阳·模拟预测）设函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，讨论函数的零点的个数.

8．（2024·湖南株洲·一模）已知函数在处的切线方程为，其中e为自然常数.

(1)求、的值及的最小值；

(2)设，是方程（）的两个不相等的正实根，证明：.

9．（2023·河南·模拟预测）已知函数．

(1)求证：曲线仅有一条过原点的切线；

(2)若时，关于的方程有唯一解，求实数的取值范围．

10．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．

(1)讨论的单调性．

(2)设方程有两个不相等的正实数根，．

①求实数的取值范围．

②证明：．

11．（2023·山东·模拟预测）已知函数．

(1)若是函数的极大值点，求实数a的取值范围；

(2)已知，证明：方程有且仅有1个正实根，且该正实根位于区间内．

12．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数．

(1)求的最小值，并证明方程有三个不等实根；

(2)设(1)中方程的三根分别为，，且，证明：．

13．（2024·山东潍坊·一模）已知函数（）．

(1)讨论的单调性；

(2)证明：（，）；

(3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围．

14．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数．

(1)当时，求函数在上的最大值．

(2)若函数在定义域内有两个不相等的零点，，证明：．

15．（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件：

①且（或，）；

②在点的附近区域内两者都可导，且；

③（可为实数，也可为），则．

(1)用洛必达法则求；

(2)函数（，），判断并说明的零点个数；

(3)已知，，，求的解析式．

参考公式：，．

16．（2024·浙江金华·模拟预测）设全集为，定义域为的函数是关于x的函数“函数组”，当n取中不同的数值时可以得到不同的函数．例如：定义域为的函数，当时，有若存在非空集合满足当且仅当时，函数在上存在零点，则称是上的“跳跃函数”．

(1)设，若函数是上的“跳跃函数”，求集合;

(2)设，若不存在集合使为上的“跳跃函数”，求所有满足条件的集合的并集；

(3)设，为上的“跳跃函数”，．已知，且对任意正整数n，均有．

（i）证明：;

（ii）求实数的最大值，使得对于任意，均有的零点．

17．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数的图象上的若干个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这若干个点为函数的图象的一组“同切点”例如，如图，直线为函数的图象的“自公切线”，，为函数的图象的一组“同切点”.

(1)已知函数在处的切线为它的一条“自公切线”，求该自公切线方程；

(2)若，求证：函数，有唯一零点，且该函数的图象不存在“自公切线”；

(3)设，函数，的零点为，求证：为函数的一组同切点.

18．（2024·安徽芜湖·三模）若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．

(1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”，且有；

(2)若关于的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”：

(3)设正项数列是一个“对数性凸数列”，求证：

19．（2024·山东·模拟预测）法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，将其推广到高次方程，并在其著作《论方程的识别与订正》中正式发表，后来人们把这个关系称为韦达定理，即如果是关于x的实系数一元n次方程在