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高考数学复习《函数的周期性与对称性及应用》强化训练含答案

一、单选题

1．（2024·全国·模拟预测）已知函数与及其导函数和的定义域都为，且为奇函数，则下列等式一定正确的是（????）

A． B． C． D．

2．（2024·安徽·模拟预测）若定义在上的函数，满足，且，则（????）

A．0 B．-1 C．2 D．1

3．（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（????）

A． B． C．3 D．4

4．（2024·贵州毕节·三模）已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

5．（2024·江西·模拟预测）已知定义域为R的函数满足：，，且，则下列说法不正确的是（????）

A． B．是奇函数

C．若，则 D．是奇函数

6．（2024·山东聊城·三模）设函数的图象与函数的图象关于轴对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为（????）

A．8 B．6 C．4 D．2

7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（???）

A． B． C． D．

8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知的定义域为，函数满足，图象的交点分别是，，则可能值为（????）

A．2 B．14 C．18 D．25

二、多选题

9．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（????）

A． B．

C． D．

10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（????）

A．是周期4的周期函数 B．图象关于点对称

C． D．图象关于点对称

11．（2024·湖北·模拟预测）设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法正确的是（????）

A．函数的图象关于直线对称 B．

C． D．

三、填空题

12．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则.

13．（2023·海南海口·一模）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则.

14．（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在上的增函数满足:对任意的都有且，函数满足，.当时，，若在上取得最大值的值依次为，，…，，取得最小值的值依次为，，…，，若，则的取值范围为

四、解答题

15．（2023·上海徐汇·一模）若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”．

(1)试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由；

(2)已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点；

(3)若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数．

（可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．）

高考数学复习《函数的周期性与对称性及应用》强化训练含答案

一、单选题

1．（2024·全国·模拟预测）已知函数与及其导函数和的定义域都为，且为奇函数，则下列等式一定正确的是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先对两边求导，得，与联立可得：，这样就知道图象关于对称，再由为奇函数，又知道图象关于点对称，这样由双对称性质可知是周期函数且周期为4，然后即可用赋值法得到结果.

【解析】对两边求导，得，

又由，得，

所以，可得．

由为奇函数，得，则，

令得：，

则由上面两式可得：，即是以4为周期的周期函数，

则．

故选：C．

2．（2024·安徽·模拟预测）若定义在上的函数，满足，且，则（????）

A．0 B．-1 C．2 D．1

【答案】D

【分析】利用赋值法，先后求出，，再令，得到，即可求解.

【解析】令，则有，

又，∴.令，.

则有，∴.

令，则有.

∵，∴，∴，

∴

.

故选：D.

3．（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（????）

A． B． C．3 D．4

【答案】B

【分析】利用题设得到①和②，又由，结合①式，推得的周期为12，利用求得和，最后利用的周期性即可求得.

【解析】由函数的图象关于原点对称，，

即，即①，

由函数的图象关于y轴对称，可得②，

由可得，又得，

两式相加，，将①式代入，得，

则得，将②式代入得，，则，

于是，即的周期为12.

又，由①可得，得，

又由可得，即得.

因，可得，，

于是，

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的对称性应用，属于难题.

解题关键在于根据中心对称和轴对称得出函数关系式：①和②，再由利用消元思想，转化为关于的关系式是最关键之处，其次是利用的关系式求得的周期是第二关键，之后赋值求