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可解释的梯度下降法用于卡尔曼增益

∗†

M.A.BelabbasandA.Olshevsky

2025年7月23日

摘要

本我们推导出了一种关于线性时不变系统中滤波增益的创新损失梯度的分解方法，该

译分解为一个可观察格拉姆矩阵和一个量化估计误差与创新之间“非正交性”的项的乘积。

中我们利用这种分解来给出梯度下降收敛到最优卡尔曼增益的证明，特别指出了恢复卡尔

曼增益如何依赖于一个非常规的可观测条件，并获得了一个可解释的几何收敛率。

2

v

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51介绍

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4

1虽然线性时不变系统的最优卡尔曼增益可以从代数黎卡提方程中以闭合形式获得，基

.

7于梯度的计算卡尔曼增益策略仍然有两个主要原因显得有趣。首先，在时变或自适应滤波环

0

5境中，增量梯度更新允许连续修订增益，因此滤波器可以响应不断变化的系统动态而无需反

2复求解完整的黎卡提方程。其次，当系统模型部分已知或完全未知但测量数据继续到达时，

:

v

i随机梯度方法可以直接用于以数据驱动的方式识别增益。

x

r我们采用创新的期望均方幅度——即一步预测误差——作为梯度下降的成本，这个量

a

我们称之为创新损失。这是衡量滤波器性能最直接的方法，并且由于它仅依赖于可观测数

据，因此即使真实状态未知时仍定义良好。

分析创新损失上的梯度下降问题，据我们所知，仅在[5]中被考虑过。[5]考虑了一个一

步预测形式的卡尔曼滤波器，并证明了，在底层系统可观察的情况下，梯度下降及其随机变

体收敛于卡尔曼增益。一篇紧密相关的论文[3]考虑了一个稍有不同的成本函数，使用了创

新中的预测，并同样获得了收敛到卡尔曼增益的结果。

还存在大量关于使用梯度下降计算LQR最优增益的相关问题的平行文献（例如，[2,1,

4,6]）。然而，如[5]所述，尽管这里在可控性和可观测性之间存在某种对偶关系，通常无法

∗UniversityofIllinoisatUrbana-Champaign,belabbas@illinois.edu.

†BostonUniversity,alexols@bu.edu.

Authorsnamesareorderedalphabetically.

1

从对应的LQR结果推导出卡尔曼增益的结果，因为关键的非奇异性假设在变换中没有得到

保留。

本文中我们考虑使用梯度下降来恢复标准形式下的卡尔曼滤波器。与[5]不同，我们表

明如果仅假设底层系统的可观测性，则确实存在虚假的稳定点。我们的分析起点是一个新的

观察结果，即创新损失的梯度是可观测性格拉姆矩阵和一个衡量卡尔曼滤波器正交性原理

违背程度的项的乘积。基于这种分解，我们给出了一种稍不标准的可观测性条件，该条件排

除了稳定点并确保梯度下降以几何速率收敛到卡尔曼增益。最后，我们表明这个速率是可以

解释的，它是两个因素的乘积：轨迹接近失去可观测性的程度以及违背正交性原理的程度如

何急剧增加创新损失。

2问题陈述

我们考虑一个由状态空间方程描述的离散时间线性时不变系统

(1)