函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式.pptxVIP

第九节二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式

一、问题的提出一元函数的泰勒公式

能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.问题

二、二元函数的泰勒公式

其中记号表示表示

一般地,记号证引入函数显然

由的定义及多元复合函数的求导法则,可得

利用一元函数的麦克劳林公式，得

上面求得的)()0(00xf=F),()1(00kyhxf++=F将,及直到阶导数在的值,以及在)(tFn0=t)()1(tn+Fq=t的值代入上式.即得

其中证毕

其中

当0=n时,公式)成为上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.

例1解

其中

极值充分条件的证明利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2．

依二元函数的泰勒公式，证

)1(设02-BAC,即因),(yxf的二阶偏导数在)(01PU内连续,由不等式)7(可知,存在点0P的邻域)()(0102PUPU蘿,使得对任一)(),(0200PUkyhx蝳++有

注:将),(yxfxx在点),(00kyhxqq++处的值记为xxf,其他类似.

)2(设02-BAC,即

先假定,0),(,(0000==yxfyxfyyxx则0),(00箎yxfxy分别令hk=及hk-=,则由)6(式可得及其中.1,021qq

再证),(),(0000yxfyxfyyxx与不同时为零的情形不妨.0),(00箎yxfxy先取0=k,于是由)6(式得

充分接近零时当hfD与),(00yxfxx同号.但如果取,),(,),(0000syxfksyxfhxxxy=-=其中s是异于零但充分接近于零的数,则可发现,当s充分小时,fD与),(00yxfxx异号.),(00yxfD如此证明了:在点的任意邻近,可取不同符号的值,因此),(00yxf不是极值.考察函数及

容易验证,这两个函数都以)0,0(为驻点,且在点)0,0(处都满足02=-BAC.但),(yxf在点)0,0(处有极小值,而),(yxg在点)0,0(处却没有极值.