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复合函数问题

一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B,若A=B,则y关于x函数的y=f

g(x)]叫做函数f与g的及合函数，u叫中间量.

二、复合函数定义域问题：

(1)、已知/(x)的定义域，求/g(x)]的定义域

思路：设函数/(幻的定义域为D,即所以/的作用范围为D,又f对g(X)作用，作用范围

不变，所以g(X)£D,解得xwE,E为fg(x)]的定义域。

例1.设函数/(〃)的定义域为(0,1),则函数/(Inx)的定义域为。

解析：函数/(〃)的定义域为(0,1)即“W(0,1),所以/的作用范围为(0,1)

又f对Inx作用，作用范围不变，所以Ovlnxvl

解得了£(1,e),故函数/(Inx)的定义域为(1,e)

例2.若函数/(x)=」一,则函数//(x)]的定义域为______________。

XI1

解析：先求f的作用范围，由/(x)=,，知

X+1

即f的作用范围为x｛£R|xW-1｝,又f对f(x)作用所以/(x)GRQ.fMw-1,即//(X)]中K应

1xH-I

满足《即4I,解得xw—I且XW—2

/U)^-1——工一1

葭+1

故函数//*)]的定义域为｛A£E\x工-1JU工-2)

(2)、已知了加(切的定义域，求/(X)的定义域

思路：设/口(切的定义域为D,即XE。，由此得g(X)£七，所以f的作用范围为E,又f对X作

用，作用范围不变，所以xwE,E为/(对的定义域。

例3.已知/(3-2工)的定义域为2],则函数/(x)的定义域为o

解析：/(3-2幻的定义域为卜1,2],即工£卜1,2],由此得3-2次£卜1,5]

所以f的作用范围为一1,5],又f对x作用，作用范围不变，所以5]

1

即函数/*)的定义域为1,5]例4.已知/(/-4)二馆则函数/(x)的定义域为

解析：先求f的作用范围，由，(/-4)=怆/—,知f—()

22

X-8x-8

解得/一44,f的作用范围为(4,+oo),又f对x作用，作用范围不变，所以xe(4,+8),

即/(X)的定义域为(4,+00)

(3)、已知/g(切的定义域，求川仆)]的定义域

思路：设/g(x)]的定义域为D,即xw”由此得g(x)eE,