函数的极限定义、性质.pptxVIP

第二节函数的极限2025/7/241单侧极限01自变量趋向无穷大时函数的极限02自变量趋向有限值时函数的极限03函数极限的性质04两个重要极限05

自变量的变化过程2025/7/242x的变化趋势有:

一、自变量趋向有限值时函数的极限2025/7/243问题:

x?x0时f(x)的极限存在正数?0,只要f的定义域中的点x满足定义若存在常数A,对任意给定的正数?0,总A是函数f(x)当x?x0时的极限,简称A是f(x)在x0处的极限.0|x?x0|?时，恒有|f(x)?A|?成立，则称常数

几何意义2025/7/245

说明

例1证

例2证函数在点x=1处没有定义.

例3证

例4证

4.验证.1.把|f(x)?A|化简为|f(x)?A|?k|x?x0|;用定义证明的过程：2.?????要|f(x)?A|??,只要k|x?x0|??;

几何意义2025/7/2412

二、函数极限的性质2025/7/2413性质101极限的局部保序性、保号性02

上两式同时成立,证

性质2(保序性)2025/7/2415推论(不等式性质)证明:反设AB,则由定理3,

性质3(局部保号性)

性质3?

性质4若极限(或)存在，则极限是惟一的.01极限的惟一性02

证不妨设A?B,由定义,对故极限若存在则必唯一.

性质6性质6?3.有极限的函数的局部有界性

函数极限的归并性(函数极限与数列极限的关系)性质7定义利用函数极限的归并性,我们可以利用数列极限的结论来推导函数极限的类似结论.

证:必要性2025/7/2422

充分性2025/7/2423……………

030201于是,可得一数列{xn→x0},xn≠x0,而右边一列则说明数列{f(xn)}不以A为极限,此与假设矛盾.充分性得证.函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.定理给出了函数极限与数列极限的关系:

例如,

判别极限不存在的一个方法

证例1

二者不相等,2025/7/2428

5.极限收敛准则2025/7/2429性质5.收敛准则Ⅰ准则I称为夹逼准则.

证利用数列极限的存在准则得:由函数极限的归并性,就证明了函数极限:

例1

极限的运算法则

1.极限运算法则2025/7/2432定理

从而就证明了函数极限的四则运算法则.3证1利用数列极限的四则运算法制则得:2

推论101即：常数因子可以提到极限记号外面.02极限运算的线性性质：03极限运算的线性性质可推广到有限个函数的情形.04

推论22025/7/243501有限个函数乘积的极限等于各函数极限的乘积.02推论3

2.求极限方法举例2025/7/2436解例1

小结:2025/7/2437

例2商的法则不能用解由无穷小与无穷大的关系,得

解例3(消去零因子法)

例42025/7/2440解

解例

(3)解2025/7/244201.(分母或分子有理化)02.例

解