函数的极值与导数上.pptxVIP

1.3.2函数的极值与导数

单调性与导数的关系：设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)0，则f(x)为增函数；如果f′(x)0，则f(x)为减函数；如果f′(x)=0，则f(x)为常数函数；复习:

观察图像：

函数的极值定义使函数取得极值的点x0称为极值点

（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.注意：oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))（1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；

反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点.3对于可导函数,1若x0是极值点,则f’(x0)=0;2观察与思考：极值与导数有何关系？

oax0bxyoax0bxy增f?(x)0f?(x)=0f?(x)0极大值减f?(x)0f?(x)=0增减极小值f?(x)0如何判断f(x0)是极大值或是极小值？左正右负为极大，右正左负为极小

思考若寻找可导函数极值点,可否只由f?(x)=0求得即可?探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?xyOf(x)?x3f?(x)=3x2当f?(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.f?(x0)=0x0是可导函数f(x)的极值点x0左右侧导数异号x0是函数f(x)的极值点f?(x0)=0注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

练习1下图是导函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6

因为所以例1求函数的极值.解:令解得或当,即,或;当,即.当x变化时,f(x)的变化情况如下表:–++所以,当x=–2时,f(x)有极大值;当x=2时,f(x)有极小值.例题选讲:

解:令,解得x1=-2,x2=2.当x变化时,,y的变化情况如下表:因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=.例1求函数的极值.

例题1的图像21o2x3y425+6+7f(x)=x3-4x+48

求可导函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f’(x)在方程根左右的符号——如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；

注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。可导函数必有极值；可导函数在极值点的导数一定等于零；函数的极小值一定小于极大值练习1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为。01函数的极小值（或极大值）不会多于一个。（设极小值、极大值都存在）；02

练习2求下列函数的极值:解:令解得列表:+递增递减–所以,当时,f(x)有极小值

练习2求下列函数的极值:解:解得列表:–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.

练习2求下列函数的极值:解:解得所以,当x=–2时,f(x)有极小值–10;当x=2时,f(x)有极大值22.解得