2026人教A版高考数学一轮复习专练： 基本不等式.pdfVIP

第4节基本不等式

考试要求1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.

3.掌握基本不等式在实生活中的应用.

■知识诊断自测

【知识梳理】

1.基本不等式：声或粤

⑴基本不等式成立的条件：a0,b0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a=6时取等号.

(3)其中审叫做正数跖6的算术平均数，潼叫做正数a,6的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(D/+廿三亚3，6GR),当且仅当a=6时取等号.

(2)时忘匕一J(a,6GR),当且仅当时取等号.

3.利用基本不等式求最值

(1)已知x,y都是正数，如果积犯等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小

值班.

(2)已知x,y都是正数，如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积孙有最大值

坦

常［用结论与微点提醒］

(cr~\~b^

J•要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.

2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，

则一定要保证它们等号成立的条件一致.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)不等式MW[空与粤成立的条件是相同的.()

(2)函数的最小值是2.()

(3)函数尸sinx+/，，1的最小值是4.()

(4)“x0且y0”是(十・三2”的充要条件.()

九y

答案(1)X(2)X(3)x(4)X

2

解析(1)不等式成立的条件是a,6©R,成立的条件是

。三0,b^Q.

(2)由于x©(—8,0)U(0,+8),

故函数无最小值.

4

(3)由于sin%=;^7时sin%=2无解，

3U1人

4一

故sin%+不；的最小值不为4.

SUI

(4)“、+菱巳2”的充要条件是“孙0”.

xy

2.(必修一P48Tl改编)已知xl,则x+一y的最小值为.

X1

答案3

解析x+7=x—1+7+1三2/(x—1)-7+1=3，

X—1X—1\1X—1

当且仅当龙一1=」,

X—1

即x=2时等号成立.

3.(必修一P58T5改编)若a0,b0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为.

答案9

解析由a=a+b+3三2\/^+3,得ab—2\[ab—3三0,

解得，723(/7W—1舍去)，

即时》9.当且仅当a=b=3时取等号.

4.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是

答案25

解析设矩形的一边为xm,面积为yn?,

则另一边为gx(20—2x)=(10—x)(m),

其中0x10,

—x~\~(10—x)

所以y=x(10—x)W[J=25,

当且仅当x=10—x,即x=5时，等号成立,

所以ymax=25,