2026人教A版高考数学一轮复习专练： 二项分布、超几何分布与正态分布.pdfVIP

第8节二项分布、超几何分布与正态分布

考试要求1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实问题.

2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.

■知识诊断自测

【知识梳理】

1.伯努利试验与二项分布

⑴伯努利试验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行

n次所组成的随机试验称为〃重伯努利试验.

(2)二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(Opl),

用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=(l-pY-k,k=0,1,

2,,,,,n,称随机变量X服从二项分布，记作X〜B(n,〃).

2.两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)=g,D(X)=p(l-pY

(2)若X〜B(〃，p),则6(为=迎，D(X)=np(l-pY

3.超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取〃件(不

放回)，用X表示抽取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=Z)=^^,

k=m,m+1,m+2,…，r,其中，n,N,MGN*,MN,nWN,m=max{0

n—N+M1,r=mn{n,M},称随机变量X服从超几何分布.

4.正态分布

⑴定义

-52

若随机变量X的概率分布密度函数为火力=西方.e22,XGR,其中，〃CR,

c

。0为参数，则称随机变量X服从正态分布,记为X〜N@,冷.

⑵正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线x=a对称.

②曲线在处达到峰值g屋.

③当国无限增大时，曲线无限接近x轴.

(3)3。原则

①trWXW〃+心0.6827；

②尸(//—2(TWXW〃+2。)亡0.9545；

③尸(//—3«WXW〃+3。)心0.9973.

(4)正态分布的均值与方差

若X〜N〃，/)，则E(X)=w，D(X)=2

常［用结论与微点提醒］

1.两点分布是二项分布当”=1时的特殊情形.

2.超几何分布有时也记为X〜85,M,N)，其均值E(X)=R,

nM(n—1j

—N-J

N,

3.若X服从正态分布，即X〜叫，/)，要充分利用正态曲线关于直线对称

和曲线与x轴之间的面积为“1”解题.

4.利用〃重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率

模型是否满足公式P(X=A)=a/(l-p)〃r的三个条件：(1)在一次试验中某事件A

发生的概率是一个常数p-,(2)〃次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试

验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示〃次试验中事件A恰好发

生了上次的概率.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“♦”或“X”)

(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是2的倍数的次数，则X服从二项分

布.()

⑵从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分

布.()

(3)〃重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立.()

(4)正态分布是对于连续型随机变量而言的.()

答案(