高阶 Gauss-Legendre 方法允许组合表示及其共轭辛对应形式-计算机科学-机器学习-常微分方程-哈密顿系统-算法.pdfVIP

高阶Gauss-Legendre方法允许组合表示及其共轭辛对应形式

abc

FeliceIavernaro,FrancescaMazzia,ErnstHairer

aDipartimentodiMatematica,UniversitàdegliStudidiBariAldoMoro,ViaOrabona4,Bari,70125,Italy

bDipartimentodiInformatica,UniversitàdegliStudidiBariAldoMoro,ViaOrabona4,Bari,70125,Italy

cSectiondeMathématiques,UniversitédeGenève,24rueduGénéral-Dufour,Genève,1211Genève4,Switzerland

Abstract

一组最经典的辛和共轭辛方案由中点法（二阶高斯-龙格库塔方法）和梯形法则给出。这些可以被

解释为隐式和显式欧拉方法的组合，分别按直接顺序和逆序进行。这自然引发了一个问题：更高

阶的高斯-勒让德方法是否存在类似的组合结构。在这篇论文中，我们通过首先研究四阶情况并概

述推广到更高阶的情况来给出肯定的回答。

Keywords:常微分方程,哈密顿系统,多导数方法,辛方法

本1.介绍和主要结果

译

中在初值问题数值解的背景下，众所周知，将显式和隐式欧拉方法（分别表示为EE和IE）与

半步长组合会产生两种基本的数值积分器：通过先使用IE后使用EE得到的梯形法则（TR），以

2

v及通过相反顺序得到的隐式中点法则（MP）：

9

0TRIEEEMPEEIE

8

6

1这两种方法都是二阶的，并且当应用于形式为

.

6

(1)

0

5

2

:哈密顿系统时表现出显著的保结构性质，其中是哈密顿函数，是规范辛矩阵

v

i

x

r

a

这里的表示单位矩阵。在此设置下，隐式中点方法是辛的，而梯形法则为其共轭辛对应。

辛积分格式享有重要的几何性质，如相空间中闭合曲面的体积保存性、所有二次第一积分的

守恒以及哈密顿函数在指数长的时间间隔上的近似守恒[1,2]。本质上，共轭-辛积分格式继承了相

同的定性行为[3]。

一组显著的辛隐式龙格-库塔方法由高斯-勒让德配置方案给出，其二阶成员与隐式中点规则相

同。这自然引出了一个问题：是否存在类似的组合结构用于高阶Gauss-LegendreRunge-Kutta方

法？特别是，可以询问这些方法是否也可以表示为欧拉方案的合适高阶扩展的组合，并且这样的

组合是否有意义的共轭辛对应。

在这篇论文中，我们首先解决了这个问题，针对由表定义的