苏州大学《复变函数论》2023 - 2024学年期末试卷.docxVIP

苏州大学《复变函数论》2023-2024学年期末试卷

院(系)_______班级_______学号_______姓名_______

题号

一

二

三

四

五

总分

得分

一、填空题（每题2分，共20分）

复数z=3+

函数f(z)=1z

若f(z)在区域D内解析，C为D

幂级数n=0∞an(z?z

解析函数f(z)=

设z1=1+i

函数w=

若f(z)在z0处解析，且f′(z

留数定理为：若f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,?,z

分式线性变换w=az+

二、选择题（每题3分，共15分）

以下哪个函数在整个复平面上解析（）

A.f(z)=|z|B.

设C为正向圆周|z|=1，则C

A.0B.2πiC.?2πiD.

函数f(z)=sin

A.z=nπ（n∈Z）B.z=2nπ（n∈Z

幂级数n=1∞

A.|z?1|1B.

关于解析函数的性质，下列说法错误的是（）

A.解析函数的实部和虚部都是调和函数

B.解析函数在其解析区域内具有任意阶导数

C.若f(z)在区域D内解析，且f′(z)在D

D.解析函数的积分与路径无关

三、简答题（每题10分，共30分）

Brieflydescribetheconceptofananalyticfunctionandstatethenecessaryandsufficientconditionsforafunctiontobeanalytic.（简述解析函数的概念，并说明函数解析的充要条件。）

ExplainthegeometricmeaningoftheCauchy-Riemannequations.（解释柯西-黎曼方程的几何意义。）

Discusstherelationshipbetweentheresidueofafunctionatanisolatedsingularityandtheevaluationofacontourintegral.（讨论函数在孤立奇点处的留数与围线积分求值的关系。）

四、计算题（每题15分，共15分）

Letf(

(1)Findthesingularitiesoff(z)andclassify

(2)Calculatetheresidueoff(z)ateach

(3)LetCbethepositively-orientedcircle|z|=2，calculateC?f(z)

五、论述题（每题20分，共20分）

Describethedevelopmentprocessofcomplexvariablefunctiontheoryfromitsorigintoitsestablishment,andanalyzetheimportantsignificanceofcomplexvariablefunctiontheoryinmodernmathematicsandotherdisciplines.（描述复变函数论从起源到建立的发展历程，并分析复变函数论在现代数学及其他学科中的重要意义。）

试卷【参考答案】

一、填空题

5

极点

0

+∞

?u?

3

2kπi（k∈

二阶零点

f(z)

保圆

二、选择题

C2.C3.A4.A5.D

三、简答题

-**解析函数的概念**：如果函数\(f(z)\)在区域\(D\)内可微，且在\(D\)内每一点的导数都存在，则称\(f(z)\)在区域\(D\)内解析。如果\(f(z)\)在\(z_0\)点的某邻域内解析，则称\(f(z)\)在\(z_0\)点解析。

-**充要条件**：函数\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在区域\(D\)内解析的充要条件是\(u(x,y)\)与\(v(x,y)\)在\(D\)内可微，并且满足柯西-黎曼方程\(\frac{\partialu}{\partialx}=\frac{\partialv}{\partialy}\)，\(\frac{\partialu}{\partialy}=-\frac{\partialv}{\partialx}\)。

2.柯西-黎曼方程的几何意义在于它反映了解析函数的实部和虚部之间的一种内在联系。从几何角度看，解析函数在某点处的导数存在，意味着函数在该点处具有某种保角性和伸缩率的不变性。柯西-黎曼方程保证了函数f(

函数在孤立奇点处的留数与围线积分求值密切相关。根据留数定理，若f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,?,zn外