高考数学复习第11讲三角形中的有关问题.pptxVIP

三角形中的三角函数

三角形中的有关公式1.内角和定理:三角形三内角之和为?,即A+B+C=?.注任意两角和与第三个角总互补;任意两半角和与第三个角的半角总互余;锐角三角形?三内角都是锐角?任两角和都是钝角设△ABC中,角A、B、C的对边为a、b、c,?任意两边的平方和不不大于第三边的平方.?三内角的余弦值为正值2.正弦定理:===2R(R为三角形外接圆的半径).sinCcsinAasinBb注正弦定理的某些变式:(1)a:b:c=sinA:sinB:sinC;

(3)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.已知三角形两边一对角运用正弦定理求解时,务必注意可能有两解.3.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,cosA=等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状.b2+c2-a22bc4.射影定理:a=bcosC+ccosB.5.面积公式:S=aha=absinC=r(a+b+c)(其中r为三角形内切圆半径).121212特别提醒:(1)求解三角形中的问题时,一定要注意A+B+C=?这一特性:A+B=?-C,sin(A+B)=sinC,sin=cos;(2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.A+B2C2(2)sinA=,sinB=,sinC=;c2Ra2Rb2R

判断三角形的形状1△ABC中,若sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2C,判断△ABC的形状.直角三角形3在△ABC中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,试判断三角形的形状.4在△ABC中,若a2sin2B+b2sin2A=2abcosAcosB,试判断三角形的形状;正三角形直角三角形或等腰三角形直角三角形2在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,sinA+sinB=,试判断三角形的形状.

解:(1)∵(a+c)(a-c)=b(b-c),∴b2+c2-a2=bc.1.锐角△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边.(1)若(a+c)(a-c)=b(b-c),求?A的大小;(2)y=2sin2B+sin(2B+)取最大值时,求?B的大小.6?故由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc12=.(2)y=2sin2B+sin(2B+)=1-cos2B+sin2Bcos+cos2Bsin6?6?6?=1-cos2B+sin2B1232=1+sin(2B-)6?∵A是锐角三角形的内角,∴0A.2?∴A=.3?当且仅当B=时取等号.3?∴B=.3?

2.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,求cosAcosC的取值范畴.解:∵△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,∴2B=A+C且A+B+C=180o.∴B=60o,C=120o-A.∴cosAcosC=cosAcos(120o-A)=cosAcos120ocosA+cosAsin120osinA=-cos2A+sinAcosA3212=-(1+cos2A)+sin2A3414=sin(2A-30o)-.1214∵0oA120o,∴-30o2A-30o210o.∴-sin(2A-30o)≤1.12∴-cosAcosC≤.cosAcosC的取值范围是(-,].