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河北省衡水市部分学校2024届高三下学期二模考试

数学试题

第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题

1.若,，则实数（）

A.6 B. C.3 D.

【答案】B

【解析】因为，所以，

即，所以，

因为，，所以，

所以，解得.

故选：B.

2.某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是（）

A.90 B.75 C.95 D.70

【答案】A

【解析】将5人的比赛成绩由小到大排列依次为：70，75，85，90，95，

，5人成绩的上四分位数为第四个数:90.

故选：A.

3.生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体，其中四边形与都为等腰梯形，为平行四边形，若面，且，记三棱锥的体积为，则该五面体的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】因为为平行四边形，所以，所以.

记梯形的高为，因为，

所以，

所以，

所以该五面体的体积.

故选：C

4已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

.

故选：A

5.将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（）

A.78 B.92 C.100 D.122

【答案】C

【解析】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有种，

当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有种.

综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是.

同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.

故不同的分配方法数是.

故选：C

6.已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（）

A.3 B. C. D.2

【答案】C

【解析】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，

由双曲线的定义可得，

由，可得，，，

由可得，

在三角形中，由余弦定理可得：

，

即有，化简可得，

所以双曲线的离心率．

故选：C．

7.已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定成立的是（???）

A. B.

C. D.

【答案】ABD

【解析】对A：∵为偶函数，则，两边求导可得，

∴奇函数，则，

令，则可得，则，A成立；

对B：令，则可得，则，B成立；

∵，则可得，

，则可得，

两式相加可得：，

∴关于点成中心对称，则，D成立，

又∵，则可得，

，则可得，∴以4为周期的周期函数，

根据以上性质只能推出，不能推出，C不一定成立，

故选：ABD.

8.已知正数，，满足，，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】由解得，

构造函数，，显然，

故是减函数，结合，故时，，

故，，再令，，，当时，，

故在单调递增，结合，

故，，

则，

，

所以，，，

故，

由，，都是正数，故．

故选：D．

二、选择题

9.已知是的共轭复数，则（）

A.若，则

B.若为纯虚数，则

C.若，则

D.若，则集合所构成区域的面积为

【答案】AB

【解析】，所以，故A正确；

由为纯虚数，可设，

所以，因为且，所以，故B正确；

由，得，

因为与均为虚数，

所以二者之间不能比较大小，故C错误；设复数，所以

由得，

所以集合所构成区域是以为圆心为半径的圆，

所以面积为，故D错误.

故选：AB.

10.如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（）

A.

B.

C.函数在上单调递减

D.若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为

【答案】ACD

【解析】令得，或，，

由图可知：，，，

所以，，

所以，所以，故A选项正确，

所以，由且处在减区间，得，

所以，，

所以，，

所以，

，故B错误.

当时，，

因为在为减函数，故在上单调递减，故C正确；

将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移），

为偶函数得，，

所以，，则的最小值为，故D正确.故选：ACD.

11.如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（）

A.直线与所成的角为

B.的周长最小值为

C.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为

D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为

【答案】ACD

【解析】A选项，连接，由于为的中点，

所以⊥，⊥，

又，平面，

所以直线⊥平面