2026人教A版高考数学一轮复习专练： 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.pdfVIP

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布

第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理

考试要求1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.能解决简单

的际问题.

■知识

【知识梳理】

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有机种不同的方法，在第2类方案

中有冏种不同的方法.那么完成这件事共有N=/n+〃种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有机种不同的方法，做第2步有〃种不同的

方法，那么完成这件事共有N=mX〃种不同的方法.

3.分类加法和分步乘法计数原理的区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问

题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法

计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成

了才算完成这件事.

常［用结论与微点提醒］

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始

终.

(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.

(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，

分步完成”.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“♦”或“X”)

⑴在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.()

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.()

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()

答案(1)X(2)V(3)V

解析分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成

这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一

步，不能完成这件事，所以(1)不正确.

2.(选修三P5T1改编)(1)一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法

完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选

法的种数是;

(2)从A村去3村的道路有3条，从3村去C村的道路有2条，则从A村经3村

去C村，不同路线的条数是.

答案(1)9(2)6

解析(1)不同的选法共有5+4=9种方法.

(2)从A村去3村有3种走法，由3村去C村有2种走法，根据乘法原理可得3X2

=6(种).

3.如图所示，在A,3间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路，则

电路不通.今发现A,3之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有种.

答案13

解析电路不通可能是1个或多个焊接点脱落，问题比较复杂，但电路通的情况

却只有3种，即2或3脱落或全不脱落，每个焊接点有脱落与不脱落两种情况，

故共有24—3=13(种)情况.

4.3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有种.

答案125

解析因为第1、第2、第3个班各有5种选法，由分步乘法计数原理，可得不同

的选法有5X5X5=125(种).

■考点聚焦突破

考点一分类加法计数原理

例1(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位

朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()

A.4种B.10种C.18种D.20种

答案B

解析赠送1本画册，3本集邮册，需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集

邮册，有4种方法；赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画

册，其余2人赠送集邮册，有6种方法.

由分类加法计数原理可知，不同的赠送方法共有4+6=10(#).

(2)如果一个三位正整数如“aia2a3”满足a\ai,且。2曲，则称这样的三位数为凸

数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为.

答案240

解析若6=2