多尺度逼近作为减少标量和流形值函数偏差的策略-计算机科学-机器学习-误差校正-算法.pdfVIP

多尺度逼近作为减少标量和流形值函数偏差的

策略

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AsafAbasandNirSharon

1DepartmentofAppliedMathematics,TelAvivUniversity,Tel

Aviv-Yafo,Israel

July19,2025

本

译

中Abstract

1我们研究了多尺度近似框架内的偏差–方差权衡。我们的方法利用了一个

v

7给定的拟逼近算子，在分层数据结构中反复应用于误差校正方案。我们引入

0了一种新的偏差测量——偏差比，以定量评估多尺度近似的改进，并证明这

7

6种多尺度策略有效地减少了逼近误差中的偏差部分，从而为处理散乱数据逼

0

.近问题提供了一个更加灵活和稳健的框架。我们的研究结果表明，在各种情

7

0况下，包括应用到流形值函数上，偏差均呈现出一致性的衰减。

5

2

:

v

i1介绍

x

r

a

拟逼近是用于平滑散点数据样本给出的函数的一种标准方法[1,2]。这种算子

已经被推广到各种领域，特别是定义在流形上的函数，例如[3,4,5,6]。拟逼近因

其能够重现特定函数空间而被认可，在保持稳定性和局部性的同时，维持较低的

计算复杂度。然而，它输出的平滑结果往往导致高偏差近似。

为了增强上述品质，我们提出一种策略来解决高偏差近似问题。具体而言，我

们研究了在多级方案中应用拟近似的可能性。该策略利用数据中的嵌套集，并在

不同尺度上进行误差校正，从而更有效地捕捉细节。最初是在径向基函数[7]的背

景下提出的，这种分层误差校正方案可以很容易地扩展到许多类型的逼近算子。

最近关于多尺度的研究集中在分析与多尺度方法相关的误差率[8,9]，而其他

研究则将其适应到新的设置中[6]或进行了改进[10]。一项研究扩展了Nyström扩

展，采用多尺度误差校正方案[11,12]。这种方法在使用扩散映射进行降维方面有

应用[13,14]。与我们的设置不同，Nyström扩展仅使用高斯核。

本文研究了多尺度方法如何减少拟近似中的偏差项。我们首先回顾必要的背

景，包括我们的定义和偏差-方差权衡。在这种情况下，偏差-方差权衡通常用作调

1

校准的指导方针[15,16]，也作为统计分析的工具[17,18]。在这里，我们提出了一

种新的衡量标准来描述偏差-方差权衡，即偏差比率，并通过在不同设置下的数值

实验来考察其行为表现。我们的结果表明增加多尺度水平的数量能一致地减少偏

差，这表明这种方法可以在实际应用中作为有效的近似机制。

2多尺度近似与偏倚-方差折中

我们从基本定义和符号开始。设是我们要逼近的目标函数。这

里，和是给定的。是一个哈达玛流形，也称为卡坦-哈达玛流形，它们是

单连通、完备且截面曲率非正的。对于哈达玛流形，测地线距离

存在并且对任意两点[19]是唯一的。

本文重点讨论散点数据的逼近。具体来说，数据由元组集合

组成，其中是参数数据点