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活动2调动思维,探究新知
一般地,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素组成一组,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的所有组合的个数,成为从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号cm表示.
活动3巩固知识,典例练习
典例1写出从红、蓝、黄、绿4种不同的颜色中任取3种不同颜色的所有组合.
分析:从红、蓝、黄、绿4种不同的颜色中任取了种颜色的组合与所取颜色的排列顺序无关.
解:从红、蓝、黄、绿4种不同的颜色中任取了种不同颜色的所有组合为
红蓝黄,红蓝绿,红黄绿,蓝黄绿.
探究与发现
根据例5可知,●列出例5中3种颜色的所有排列与组 合,通过对比分析,探究P3与C2的关系.尝试利用所发现的结果,找到P3与C2的关系.
活动2调动思维,探究新知
从红、蓝、黄、绿4种不同的颜色中取3种颜色的组合和排列,可以看
出,对于每一个组合,相应的都有P3种不同的排列.因此,从4个不同
的元素中取3个元素的排列数P3,可以分以下两个步骤完成.
排列红蓝黄蓝红黄黄红蓝
排列
红蓝黄蓝红黄黄红蓝红黄蓝蓝黄红黄蓝红
红蓝绿蓝红绿绿红蓝红绿蓝蓝绿红绿蓝红
红黄绿黄红绿绿红黄红绿黄黄绿红绿黄红
蓝黄绿黄蓝绿绿蓝黄蓝绿黄黄绿蓝绿黄蓝
组合
红蓝黄
组成一组,有C3种选法;
红蓝绿红黄绿第2步,再将取出来的这3个元素进行全排列,有P3种排法.
红蓝绿
红黄绿
1根据分步计数原理,得
1
蓝黄绿因此
蓝黄绿
活动2调动思维,探究新知
一般地,从n个不同元素中任取m个元素的组合数为
(8-7)
公式称为组合数公式,其中m,n∈N*,且m≤n.
由于,因此,组合数的公式也可
以写作
另外,规定Cn=1.
温馨提示
公式(8-7)与公式(8-8)都是计算组合数的公式.计算组合数,通常使用公式(8-7),而进行有关组合数的证明,则通常使用公式(8-8).
活动5巩固知识,典例练习
典例2计算.
(1)
(2)
;
,Cg=
②
③
利用计算器也可以方便地计算组合数.以计算C36为例,依
次输入“16nCr3”,即得560.
探究与发现
根据例6的计算结果可知,
你还能举出一些类似例子么?这些等式是否具有一般性?
活动4
活动4
调动思维,探究新知
一般地,组合数具有如下性质:性质1
证明:因为
所以
性质1说明,从n个不同的元素中取出m个元素的组合数就等于从n个不同的元素中取出n-m个元素的组合数.
一般地,当时,可以利用性质1,通过计算Cn-m得到C的值,从而简化运算.
活动4调动思维,探究新知
艮
活动7巩固知识,典例练习
典例3计算
解:由性质2,
活动7巩固知识,典例练习
典例4中国传统餐饮文化源远流长,菜肴在烹饪中形成了“八大菜系”,即鲁菜、
川菜、粤菜、苏菜、闽菜、浙菜、湘菜、徽菜.某学校中餐烹饪专业为传承传统美食、
弘扬工匠精神,计划举办“八大菜系”厨艺大赛.
(1)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目,有多少种选法?
(2)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目,且川菜系必选,有多少种选法?
分析:从8个菜系中选了个菜系的选法个数,等于从8个不同的元素中
取3个元素的组合数.如果川菜系必选,等于从除了川菜系以外的7
个菜系中再取2个菜系的组合数.
活动7巩固知识,典例练习
典例4中国传统餐饮文化源远流长,菜肴在烹饪中形成了“八大菜系”,即鲁菜、
川菜、粤菜、苏菜、闽菜、浙菜、湘菜、徽菜.某学校中餐烹饪专业为传承传统美食、
弘扬工匠精神,计划举办“八大菜系”厨艺大赛.
(1)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目,有多少种选法?
(2)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目,且川菜系必选,有多少种选法?
解:(1)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目,不同的选法有
(种)
(2)从8个菜系中选出3个菜系作为比赛项目,且川菜系必选,不
同的选法有(种)
活动7巩固知识,典例练习
典例5有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29十个质数.
(1)从中任取两个数求它们的积,可以得到多少个不同的数?
(2)从中任取两个数求它们的商,可以得到多少个不同的数?
分析:在(1)中,求得的积与选出来的两个数的顺序无关,相当于求从10个不同元素中选出2个元素的组合数;在(2)中,商的结果与选出来的两个数谁是被除数、谁是除数有关,即与顺序有关,相当于求从10个不同的元素中选出2个元素的排列数.
解:(1)从中任取两个数求它们的积,可以得到不同的数的个数为
(2)从中任取两个数求
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