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初二数学

第五章

反比例函数

西北师范大学数信学院

09计非（2）班

作者：袁小倩

使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；

能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点；

能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题。

3

2

1

学习目标

反比例函数在生活中的应用

情境1：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境。你能解释他们这样做的道理吗？

情境导入

情境导入

情境2：

汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化.

问题：

（1）你能用含有v的代数式表示t吗？

（2）利用（1）的关系式完成下表：

（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？

什么叫做反比例函数？

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k。

y＝k／x

（其中X是自变量，Y是X的函数）

1

y=k/x=k·1/x

xy=k

2

y=k·x^-1

3

y=k\x(k为常数且k≠0），x≠0）

4

反比例函数表达式

k≠0;

在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;

函数y的取值范围也是任意非零实数。

反比例函数的自变量的取值范围

o

x

y

o

x

y

o

x

y

o

x

y

A

B

C

D

反比例函数图象

当k0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

01

当k0时，函数在x0上同为减函数、在x0上同为减函数；k0时，函数在x0上为增函数、在x0上同为增函数。

02

（定义域为x≠0；值域为y≠0。）

03

因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

04

反比例函数性质

在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|

反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称。

A

反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

B

反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.

C

反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形（o为原点）的面积为|k|

D

k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

E

|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

反比例函数的画法步骤

1）列表

2）在平面直角坐标系中标出点

3）用平滑的曲线描出点

当双曲线在一三象限，K＞0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。与X及Y轴无交点。

当双曲线在二四象限，K＜0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。与X及Y轴无交点。

●小测试

1、下列函数中，反比例函数是

A、

B、

C、D、

2、如果反比例函数

的图象经过点（－3，－4），那么函数的图象应在

A、第一、三象限；

B、第一、二象限；

C、第二、四象限；

D、第三、四象限；

分析：

根据经过的点可以知道其中一组x、y的值，由此可以求出k的值。根据前面学过的反函数的性质可以知道当k0时函数图像经过第一、三象限。

【例】反比例函数的图象上有一点P（m,n）其坐标是关于t的一元二次方程t^2+3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式．