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2026届福建省连城一中数学高三第一学期期末检测试题
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图在直角坐标系中,过原点作曲线的切线,切点为,过点分别作、轴的垂线,垂足分别为、,在矩形中随机选取一点,则它在阴影部分的概率为()
A. B. C. D.
2.设函数,的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是()
A.是偶函数 B.是奇函数
C.是奇函数 D.是奇函数
3.若数列为等差数列,且满足,为数列的前项和,则()
A. B. C. D.
4.已知数列满足:)若正整数使得成立,则()
A.16 B.17 C.18 D.19
5.已知展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等,则项系数为()
A.10 B.32 C.40 D.80
6.在三棱锥中,,且分别是棱,的中点,下面四个结论:
①;
②平面;
③三棱锥的体积的最大值为;
④与一定不垂直.
其中所有正确命题的序号是()
A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①②④
7.关于函数有下述四个结论:()
①是偶函数;②在区间上是单调递增函数;
③在上的最大值为2;④在区间上有4个零点.
其中所有正确结论的编号是()
A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④
8.以下三个命题:①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,判断“与有关系”的把握越大;其中真命题的个数为()
A.3 B.2 C.1 D.0
9.已知等式成立,则()
A.0 B.5 C.7 D.13
10.设函数,若函数有三个零点,则()
A.12 B.11 C.6 D.3
11.一艘海轮从A处出发,以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是()
A.6海里 B.6海里 C.8海里 D.8海里
12.已知为非零向量,“”为“”的()
A.充分不必要条件 B.充分必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.圆关于直线的对称圆的方程为_____.
14.(5分)已知,且,则的值是____________.
15.记复数z=a+bi(i为虚数单位)的共轭复数为,已知z=2+i,则_____.
16.某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金;随后放回该卡片,再随机摸取两张,将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金.若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则D(ξ1)=_____,E(ξ1)﹣E(ξ2)=_____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知,.
(1)当时,证明:;
(2)设直线是函数在点处的切线,若直线也与相切,求正整数的值.
18.(12分)已知函数.
(1)讨论的单调性并指出相应单调区间;
(2)若,设是函数的两个极值点,若,且恒成立,求实数k的取值范围.
19.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,直线交曲线于两点,为中点.
(1)求曲线的直角坐标方程和点的轨迹的极坐标方程;
(2)若,求的值.
20.(12分)如图,已知三棱柱中,与是全等的等边三角形.
(1)求证:;
(2)若,求二面角的余弦值.
21.(12分)已知矩阵的一个特征值为4,求矩阵A的逆矩阵.
22.(10分)已知函数,其中为实常数.
(1)若存在,使得在区间内单调递减,求的取值范围;
(2)当时,设直线与函数的图象相交于不同的两点,,证明:.
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