第05讲 古典概型与概率的基本性质（八大题型）（练习）(有解析）.docxVIP

第05讲古典概型与概率的基本性质

目录

TOC\o1-2\h\z\u01模拟基础练 2

题型一：简单的古典概型问题 2

题型二：古典概型与向量的交汇问题 3

题型三：古典概型与几何的交汇问题 5

题型四：古典概型与函数的交汇问题 7

题型五：古典概型与数列的交汇问题 9

题型六：古典概率与统计的综合 11

题型七：有放回与无放回问题的概率 13

题型八：概率的基本性质 15

02重难创新练 17

03真题实战练 25

题型一：简单的古典概型问题

1．下列试验是古典概型的是（????）

A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点

B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环

C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲

D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽

【答案】C

【解析】对于A，横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，故该选项错误；

对于B，命中0环，1环，2环…，10环的概率不相同，不满足等可能性特征，故该选项错误；

对于C，人数有限，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的，故该选项正确；

对于D，“发芽”与“不发芽”的概率不一定相等，不满足等可能性特征，故该选项错误；

故选：C.

2．下列有关古典概型的说法中，错误的是（????）

A．试验的样本空间的样本点总数有限

B．每个事件出现的可能性相等

C．每个样本点出现的可能性相等

D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率

【答案】B

【解析】由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等，故A，C正确；

每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；

根据古典概型的概率计算公式可知D正确，

故选：B

3．先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的点数．记事件A：点数之和为3，事件B：点数之和不超过3．有下列说法：①样本空间；②；③；④．其中正确的个数是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】用表示第一次掷出1点第二次掷出2点，其他的样本点用类似的方法表示，

则可知所有样本点均可表示成的形式，其中i，j都是1，2，3，4，5，6中的数．

因此，样本空间，①判断正确；

由可知②判断正确；

由可知③判断正确；

因为，，故，故④判断正确．

故选：D

4．下列是古典概型的是（????）

①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；

②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.

A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④

【答案】B

【解析】①②④中的基本事件都是有限个，且每个基本事件都是等可能的，

符合古典概型的定义和特点；③不是古典概型，因为不符合等可能性，

受多方面因素影响.

故选：B.

题型二：古典概型与向量的交汇问题

5．（2024·浙江嘉兴·二模）已知正九边形，从中任取两个向量，则它们的数量积是正数的概率为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

可以和向量构成数量积有一共8个向量，

其中数量积为的正数的向量有：一共4个，

由对称性可知，任取两个向量，它们的数量积是正数的概率为：.

故选：A

6．（2024·上海浦东新·三模）连续投骰子两次得到的点数分别为m，n，作向量（m，n），则与（1，﹣1）的夹角成为直角三角形内角的概率是．

【答案】

【解析】由题意知本题是一个古典概型，

试验发生包含的所有事件数6×6，

∵m＞0，n＞0，

∴（m，n）与（1，﹣1）不可能同向．

∴夹角θ≠0．

∵θ∈（0，]

?0，

∴m﹣n≥0，

即m≥n．

当m＝6时，n＝6，5，4，3，2，1；

当m＝5时，n＝5，4，3，2，1；

当m＝4时，n＝4，3，2，1；

当m＝3时，n＝3，2，1；

当m＝2时，n＝2，1；

当m＝1时，n＝1．

∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1

∴概率P．

故答案为

7．（2024·上海徐汇·二模）将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是，记第二颗骰子出现的点数是，向量，向量，则向量a⊥b的概率是.

【答案】

【解析】由题意知，，则共有36种，由，得，即，共有6种，根据古典概型的计算公式可得，所求概率为.

8．设m，n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量则向量，的夹角为锐角的概率是.

【答案】

【解析】向量，的夹角为锐角，所以，

所以，即.

所以所求概率.

故答案为：.

题型三：古典概型与几何的交汇问题

9．（2