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高中数学截球题目及答案

一、选择题（每题5分，共20分）

1.一个球体被一个平面截取，截面的形状可能是以下哪种？

A.圆形

B.椭圆

C.三角形

D.矩形

答案：A

2.一个球体的直径为10cm，一个平面与球心的距离为4cm，那么截面的面积是多少？

A.25πcm2

B.36πcm2

C.64πcm2

D.100πcm2

答案：A

3.如果一个球体被一个平面截取，截面是一个圆，那么这个圆的半径与球体半径的关系是什么？

A.相等

B.小于球体半径

C.大于球体半径

D.无法确定

答案：B

4.一个球体的半径为5cm，一个平面与球心的距离为3cm，那么截面圆的半径是多少？

A.4cm

B.3cm

C.2cm

D.1cm

答案：A

二、填空题（每题5分，共20分）

5.如果一个球体的半径为\(R\)，一个平面与球心的距离为\(d\)，那么截面圆的半径\(r\)可以通过公式\(r=\sqrt{R^2-d^2}\)计算得出。

6.当一个平面通过球心时，截面的形状是一个________。

答案：圆形

7.如果一个平面与球体相切，那么截面的形状是一个________。

答案：圆

8.当一个平面与球心的距离等于球体半径时，截面的形状是一个________。

答案：平面

三、计算题（每题10分，共30分）

9.一个球体的半径为8cm，一个平面与球心的距离为6cm，求截面圆的面积。

解：根据公式\(r=\sqrt{R^2-d^2}\)，截面圆的半径\(r\)为\(\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{64-36}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\)cm。截面圆的面积\(A\)为\(\pir^2=\pi(2\sqrt{7})^2=28\pi\)cm2。

答案：28πcm2

10.一个球体的半径为12cm，一个平面与球心的距离为9cm，求截面圆的周长。

解：根据公式\(r=\sqrt{R^2-d^2}\)，截面圆的半径\(r\)为\(\sqrt{12^2-9^2}=\sqrt{144-81}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}\)cm。截面圆的周长\(C\)为\(2\pir=2\pi(3\sqrt{7})=6\sqrt{7}\pi\)cm。

答案：6√7πcm

11.一个球体的半径为15cm，一个平面与球心的距离为5cm，求截面圆的直径。

解：根据公式\(r=\sqrt{R^2-d^2}\)，截面圆的半径\(r\)为\(\sqrt{15^2-5^2}=\sqrt{225-25}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\)cm。截面圆的直径\(D\)为\(2r=2\times10\sqrt{2}=20\sqrt{2}\)cm。

答案：20√2cm

四、证明题（每题10分，共20分）

12.证明：如果一个平面与球体相交，且截面是一个圆，那么这个圆的圆心必定在球心与截面平面的垂线上。

证明：设球心为\(O\)，截面圆的圆心为\(C\)，平面与球心的距离为\(d\)，球体半径为\(R\)，截面圆的半径为\(r\)。由于截面是一个圆，根据圆的性质，\(C\)到平面上任意一点的距离都等于\(r\)。又因为\(O\)到平面的距离为\(d\)，根据勾股定理，\(OC\)的长度为\(\sqrt{R^2-d^2}\)，即\(OC=r\)。因此，\(C\)必定在\(O\)到平面的垂线上。

13.证明：如果一个平面与球体相交，且截面是一个圆，那么这个圆的圆心到球心的距离与球心到平面的距离的平方和等于球体半径的平方。

证明：设球心为\(O\)，截面圆的圆心为\(C\)，平面与球心的距离为\(d\)，球体半径为\(R\)，截面圆的半径为\(r\)。根据前面的证明，我们知道\(OC=r\)。根据勾股定理，\(OC^2+d^2=R^2\)，即\(r^2+d^2=R^2\)。这证明了圆心到球心的距离与球心到平面的距离的平方和等于球体半径的平方。

五、应用题（每题10分，共10分）

14.一个半径为10cm的球体被一个与其心距离为8cm的平面截取，求截面圆的面积，并说明截面圆的位置。

解：根据公式\(r=\sqrt{R^2-d^2}\)，截面圆的