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高中数学牛刀题目及答案
一、选择题(每题5分,共20分)
1.若函数f(x)=x^2-4x+m,且f(1)=-3,则m的值为多少?
A.0
B.1
C.2
D.3
2.已知等差数列{an}的前三项分别为2,5,8,求此数列的公差d。
A.1
B.2
C.3
D.4
3.若直线l的方程为y=2x+3,且直线l与x轴交于点A,求点A的坐标。
A.(-3/2,0)
B.(3/2,0)
C.(-1,0)
D.(1,0)
4.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9,求圆C的半径。
A.3
B.4
C.5
D.6
二、填空题(每题5分,共20分)
5.若复数z满足z^2=i,则z=_________。
6.已知向量a=(3,-2),向量b=(1,2),求向量a+b的坐标。
7.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2,求f(x)。
8.已知双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1,且双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x,求双曲线的离心率e。
三、解答题(每题10分,共60分)
9.已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x+a,求证f(x)在区间[1,3]上单调递减。
10.已知抛物线C的方程为y^2=4x,点P(1,2)在抛物线C上,求抛物线C的焦点坐标。
11.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a^2+b^2=c^2,求证三角形ABC为直角三角形。
12.已知函数f(x)=x^2-4x+4,求函数f(x)的最小值。
13.已知椭圆E的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,其中ab0,且椭圆E与直线y=x相切于点M(1,1),求椭圆E的离心率e。
14.已知函数f(x)=2x^3-3x^2+1,求函数f(x)的导数f(x),并求f(x)=0时x的值。
四、证明题(每题10分,共20分)
15.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x,求证f(x)在区间(-∞,1)上单调递增。
16.已知函数f(x)=x^2-4x+3,求证f(x)在区间[2,+∞)上单调递增。
五、综合题(每题15分,共30分)
17.已知函数f(x)=x^4-6x^3+9x^2+a,求函数f(x)的极值点。
18.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1,求函数f(x)的零点。
六、附加题(每题20分,共20分)
19.已知函数f(x)=x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1,求证f(x)=0的根为x=1。
答案:
一、选择题
1.B
2.B
3.C
4.A
二、填空题
5.±√2i
6.(4,0)
7.f(x)=3x^2-6x+2
8.e=√2
三、解答题
9.证明:f(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)。当x∈[1,3]时,f(x)≤0,所以f(x)在区间[1,3]上单调递减。
10.解:抛物线C的焦点坐标为(1,0)。
11.证明:由余弦定理可知,cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0,所以C=90°,即三角形ABC为直角三角形。
12.解:f(x)=(x-2)^2+4-4,所以f(x)的最小值为4-4=0。
13.解:由题意可知,a=b=1,所以椭圆E的离心率e=√(1-1/1)=0。
14.解:f(x)=6x^2-6x+2。令f(x)=0,解得x=1/3或x=1。
四、证明题
15.证明:f(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。当x∈(-∞,1)时,f(x)0,所以f(x)在区间(-∞,1)上单调递增。
16.证明:f(x)=2x-4。当x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,所以f(x)在区间[2,+∞)上单调递增。
五、综合题
17.解:f(x)=4x^3-18x^2+18x=2x(2x-3)^2。令f(x)=0,解得x=0或x=3/2。当x∈(-∞,0)∪(3/2,+∞)时,f(x)0;当x∈(0,3/2)时,f(x)0。所以x=0是极大值点,x=3/2是极小值点。
18.解:令f(x)=0,解得x=1或x=1±√2。
六、附加题
19.证明:f(x)=(x-1)^5。令f(x)=0,解得x=1。所以f(x)=0的根为x=1。
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