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转化：从数学猜想到问题解决

摘要：从数学猜想到问题解决是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途

.“似是而非的问题，往往就需要把“非转化为“是，“似曾相识”的问题，就

是需要找回记忆中的“美好，一叶障目”的问题，就是需要拨开云雾见“月

明・本文通过具体事例介绍了如何从数学猜想转化建立数学模型，到问题解决的有效

途.

关键词：数学猜想，建立模型，转化思想.

引言:转化思想一般指化归思想.化归思想就是将一个问题由难化易，由繁化简，

由复杂化简单的过程称为化归，它是转化和归结的简称.说白了，转化就是要求学生在

数学学习过程中，有意识地“将未知的转化为已知的、“将复杂的转化为简单的，

从而有效的解决问题.纵观整个数学知识学习过程，无不渗透“转化二字.

义务教育《数学课程标准》（2022年版）指出，数学课程要培养的学生核心素养之一，

就是“会用数学的思维思考现实世界・数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思

考方式.通过数学的思维，可以揭示客观事物的本质属性，建立数学对象之间、数学与现实

世界之间的逻辑联系；能够根据已知事实或原理，合乎逻辑地推出结论，构建数学的逻辑体

系；能够运用符号运算、形式推理等数学方法，分析、解决数学问题和实际问题；能够通过

计算思维将各种信息约简和形式化，进行问题求解与系统设计；形成重论据、有条理、合

乎逻辑的思维品质，培养科学态度与理性精神.⑴曹一鸣教授指出，数学猜想探究能力是学

生独立根据已有的知识结构提出新颖的、值得论证的数学猜想并进行推理论证的能力，而

“新颖的数学猜想并不是严格意义上的数学新结论，而是相对于学生数学学习来说，是新

的结论，学生在猜想探究的过程中，获得的不仅仅是新结论，更重要的是获得解决问题的思

考方法.⑵

一、“似是而非”的问题，往往就需要把“非”转化为“是”

当我们遇到一个无法解决的问题时，可以将问题与所学知识对比，也许你会觉得它

们似是而非，但是，只要我们换个角度思考，就能把“非转化为“是，问题就由

“未知的转化为已知的”・

1

【例1］在学习了《8.1幕的运算》后，你会比较6必与963的大小吗？

我们知道，幕的大小比较，常用方法是：底数相同看指数，指数相同看底数.但是,

本题中的6。3与963底数和指数都不相同，怎么办呢？经过观察思考，发现它们的底数有

公因数3,于是可以利用求商的方法，将它们约分化简，然后再进行比较，也就是将问

题转化.

我们还知道：对于正实数b，若弓1,则ab；若弓VI,则ab；若々1,

bbb

则a=b.

利用上面的规律来比较6。3与963的大小.

因为小口巳二口2明3男口2明3男口当

963(32)6331263浴3另333

所以693963.

说明，在上面的计算中，将ft化成%后，仍然无法比较大小，于是通过将¥缩

963333

小为266,再约分，最后判断出结果.这里，为了进一步解决问题，需要我们采用适当

放大或缩小来解决问题，其实也是转化思想的应用.

【例21已知实数。、人满足人E口$7,求b的最大值与最小值之差.

遇到二次根式问题，首先想到的就是二次根式有意义，然后确定字母的取值范

围.显然，本题中b0.那么，如何求出b的最大值与最小值呢？下面，我

们尝试着将问题转化来探究.

等式两边平方，得

b2S1)2V4—a(4a)32』口W□5〃□4，

因为，在代数式32而口5。口4中，3是常数，所以，欲求人的最大值与最小值,

只要求出JW□5。口4的最大值与最小值.

由于a25a4(a~)2所以，当i5时，a25a4的最大值为°.

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又