椭圆的方程与几何性质（学生版）-数学同步讲义（苏教版选择性必修一）.docxVIP

第三章圆锥曲线与方程

第09讲椭圆的方程与几何性质

知识精讲

知识精讲

知识点01椭圆的定义与方程

1.椭圆的定义

我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.

这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

2.椭圆的标准方程

定义

图形

标准方程

(焦点在轴)

(焦点在轴)

焦点

的关系

提示:椭圆的标准方程中,与对应的分母哪一个大,则焦点就在那一轴上.

3.共焦点的椭圆系方程

(1)与椭圆有公共焦点的椭圆方程为;

(2)与椭圆有公共焦点的椭圆方程为.

【即学即练1】“方程表示椭圆”的一个充分条件是（???????）

B． C． D．

【即学即练2】若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（???????）

B． C． D．

【即学即练3】已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（???????）

A． B．

C． D．

【即学即练4】已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（???????）

B． C． D．

【即学即练5】求满足下列条件的椭圆的标准方程．

(1)过点，且与椭圆有公共的焦点；

(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，．

知识点02椭圆的几何性质及离心率

1.几何性质

标准方程

图形

范围

对称性

关于轴、轴对称,关于原点中心对称

顶点坐标

半轴长

长半轴长为,短半轴长为

离心率

2.离心率

(1)椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,用表示,即.

(2)离心率的取值范围:.

(3)离心率对椭圆形状的影响:

①越接近1,c就越接近,从而就越小,椭圆就越扁.

②越接近0,c就越接近0,从而就越接近,椭圆就越圆.

(4).

3.相同离心率的椭圆系方程

与椭圆有相同离心率的椭圆方程为,焦点在轴上)或,焦点在轴上).

【即学即练6】有关椭圆叙述错误的是（???????）

A．长轴长等于4B．短轴长等于4C．离心率为D．的取值范围是

【即学即练7】已知椭圆与，则两个椭圆（???????）

A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距

C．有相同的焦点 D．有相同的离心率

【即学即练8】椭圆的离心率为（???????）

A． B． C． D．

【即学即练9】已知椭圆的焦距为2，离心率，则椭圆的标准方程为（???????）

A． B． C． D．

【即学即练10】已知椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为（???????）

A． B． C． D．

【即学即练11】椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点使为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（???????）

A． B． C．或 D．或

知识点03椭圆拓展性质及常见重要结论

1.椭圆的第二定义

椭圆的第二定义:平面上到定F的距离与到定直线的距离之比是常数的点的轨迹叫做椭圆(如下图),即.定点F叫焦点,定直线叫准线.焦点分为左焦点和右焦点,准线分为左准线和右准线.注意:左焦点对应左准线,右焦点对应右准线.

【即学即练12】已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点对应的准线的距离为（???????）

A． B．5 C． D．

【即学即练13】已知椭圆上一点到右准线的距离为，则点到它的左焦点的距离为（????????）

A． B． C． D．

【即学即练14】设椭圆上一点到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则点到右准线的距离为（???????）

A．6 B．2 C． D．

【即学即练15】如图，是椭圆上的一点，是椭圆的左焦点，是线段的中点，，则点到该椭圆左准线的距离为（）

A． B． C． D．

2.焦半径

,为点横坐标(焦点在轴)

,为点纵坐标(焦点在轴)

【即学即练16】定义：椭圆（）上任意一点到左、右两焦点、的距离、称为椭圆的两个“焦半径”，证明：焦半径,；

3.通径

如下图,过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直

的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的

通径,其长为.

【即学即练17】已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，则椭圆C的标准方程为（???????）

A． B． C． D．

4.最大张角与最值

(1)椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点,距离

的最大值为,距离的最小值为.

(2)如下图,为椭圆的两个焦点,

为椭圆上任意一点,则当点为椭圆短轴的端,点时,最大.

【即学即练18】设椭圆的两焦点为，．若椭圆C上有一点P满足，则椭圆C的离心率的最小值为（???????）

A． B． C． D．

【即学即练19】若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦