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高数联考数学题目及答案

一、选择题（每题4分，共20分）

1.函数f(x)=x^3-3x+1的导数是（）

A.f(x)=3x^2-3

B.f(x)=3x^2-6x+1

C.f(x)=3x^2-3x+1

D.f(x)=3x^2-3x-1

答案：A

2.函数y=sin(x)的不定积分是（）

A.∫sin(x)dx=-cos(x)+C

B.∫sin(x)dx=cos(x)+C

C.∫sin(x)dx=-sin(x)+C

D.∫sin(x)dx=sin(x)+C

答案：B

3.极限lim(x→0)(1+x)^(1/x)的值是（）

A.0

B.1

C.e

D.2

答案：C

4.函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）

A.0

B.4

C.-4

D.8

答案：A

5.函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：D

二、填空题（每题4分，共20分）

6.函数f(x)=x^2-6x+8的顶点坐标是（）。

答案：(3,-1)

7.函数f(x)=ln(x)的反函数是（）。

答案：e^x

8.定积分∫(0to1)x^2dx的值是（）。

答案：1/3

9.函数f(x)=e^x的导数是（）。

答案：e^x

10.函数f(x)=x^3-3x的二阶导数是（）。

答案：6x

三、计算题（每题10分，共30分）

11.计算定积分∫(0toπ/2)sin(x)cos(x)dx。

解：令u=sin(x)，则du=cos(x)dx，积分变为∫(0to1)udu=(1/2)u^2|(0to1)=(1/2)(1-0)=1/2。

12.计算极限lim(x→∞)(x^2-3x+2)/(x^2+2x+1)。

解：分子分母同时除以x^2，得到lim(x→∞)(1-3/x+2/x^2)/(1+2/x+1/x^2)=1。

13.计算二重积分∫∫(0to1,0to1)xydxdy。

解：先对x积分，再对y积分，得到∫(0to1)[∫(0to1)xydx]dy=∫(0to1)[y/2]dy=1/8。

四、证明题（每题10分，共20分）

14.证明：函数f(x)=x^3-3x在区间(-1,1)内单调递增。

证明：f(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。在区间(-1,1)内，f(x)0，所以函数f(x)在该区间内单调递增。

15.证明：函数f(x)=ln(x)在区间(0,+∞)内单调递增。

证明：f(x)=1/x。在区间(0,+∞)内，f(x)0，所以函数f(x)在该区间内单调递增。

五、应用题（每题10分，共10分）

16.某工厂生产某种产品，每件产品的成本为10元，售价为15元。若生产x件产品，则总利润为y元。求y关于x的函数关系式，并求当x=100时的总利润。

解：y=(15-10)x=5x。当x=100时，y=5100=500元。