离散数学第四章.pptVIP

*第1页，共29页，星期日，2025年，2月5日第三部分代数结构代数结构是以研究数字、文字和更一般元素的运算的规律和由这些运算适合的公理而定义的各种数学结构的性质为中心问题。它对现代数学如扑拓学、泛函分析等以及一些其他科学领域，如计算机科学、编码理论等，都有重要影响和广泛地应用。*第2页，共29页，星期日，2025年，2月5日第三部分代数结构主要内容:代数系统----二元运算及其性质、代数系统和子代数半群与群----半群、独异点、群环与域-----环、整环、域格与布尔代数----格、布尔代数*第3页，共29页，星期日，2025年，2月5日第4章代数系统主要内容:(1)二元运算及其性质一元和二元运算定义及其实例二元运算的性质(2)代数系统代数系统定义及其实例子代数积代数(3)代数系统的同态与同构*第4页，共29页，星期日，2025年，2月5日4.1二元运算及其性质定义4.1设S为集合，函数f：S?S?S称为S上的二元运算，简称为二元运算．S中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一．S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算封闭．例1(1)自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但减法和除法不是．(2)整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算，而除法不是．(3)非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而加法和减法不是．*第5页，共29页，星期日，2025年，2月5日实例(4)设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.(5)S为任意集合，则∪、∩、－、?为P(S)上二元运算.(6)SS为S上的所有函数的集合，则合成运算?为SS上二元运算.*第6页，共29页，星期日，2025年，2月5日一元运算的定义与实例定义4.2设S为集合，函数f:S→S称为S上的一元运算，简称一元运算.例2(1)求相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上的一元运算.?(2)在幂集P(S)上规定全集为S，则求绝对补运算~是P(S)上的一元运算.?(3)在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求转置矩阵是Mn(R)上的一元运算.*第7页，共29页，星期日，2025年，2月5日二元与一元运算的表示1．算符可以用?,?,·,?,?,?等符号表示二元或一元运算，称为算符.对二元运算?，如果x与y运算得到z，记做x?y=z对一元运算?,x的运算结果记作?x.2．表示二元或一元运算的方法:解析公式和运算表公式表示例设R为实数集合，如下定义R上的二元运算?：?x,y∈R,x?y=x.那么3?4=3，0.5?(?3)=0.5*第8页，共29页，星期日，2025年，2月5日运算表：表示有穷集上的一元和二元运算运算表二元运算的运算表一元运算的运算表*第9页，共29页，星期日，2025年，2月5日例3设S=P({a,b})，S上的?和～运算的运算表如下:运算表的实例*第10页，共29页，星期日，2025年，2月5日二元运算的性质定义4.3设?为S上的二元运算,(1)若对任意x,y∈S有x?y=y?x,则称运算在S上满足交换律.(2)若对任意x,y,z∈S有(x?y)?z=x?(y?z),则称运算在S上满足结合律.(3)若对任意x∈S有x?x=x,则称运算在S上满足幂等律.*第11页，共29页，星期日，2025年，2月5日二元运算的性质定义4.4设?和?为S上两个不同的二元运算,(1)若对任意x,y,z∈S有(x?y)?z=(x?z)?(y?z)，z?(x?y)=(z?x)?(z?y),则称?运算对?运算满足分配律.(2)若?和?都可交换,且对任意x,y∈S有x?(x?y)=x，x?(x?y)=x,则称?和?运算满足吸收律.*第12页，共29页，星期日，2025年，2月5日实例Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n?2；P(B)为幂集；AA为从A到