离散系统及其在生物与经济中的应用.pptVIP

第1页，共29页，星期日，2025年，2月5日应用背景：工业炉控制系统连续控制方式采样控制方式第2页，共29页，星期日，2025年，2月5日采样控制原理图第3页，共29页，星期日，2025年，2月5日差分方程与Z变换第4页，共29页，星期日，2025年，2月5日状态空间形式与z变换传递函数为拉普拉斯变换：z变换：z与s的关系为：z变换的性质：在零初值情况下第5页，共29页，星期日，2025年，2月5日能控性与能观性能控性

上面离散系统在n个采样时刻的状态解是：Gn非奇异：与连续系统一样，能控性矩阵秩为n；Gn奇异：对于使Gnx(0)＝0的非零初态，与能控性矩阵的秩无关。第6页，共29页，星期日，2025年，2月5日能观性

上面离散系统在n个采样周期内的量测值与初值x(0)的关系是：与连续系统一样，系统能观的充要条件是能观性矩阵的秩为n。第7页，共29页，星期日，2025年，2月5日高次差分方程与状态方程选择状态变量则可得状态方程第8页，共29页，星期日，2025年，2月5日连续系统离散化D/A数字计算机连续系统保持器A/D采样器连续系统时间离散化的实现第9页，共29页，星期日，2025年，2月5日连续系统离散化无论是利用数字计算机分析连续时间系统，还是利用计算机等离散控制装置来控制连续时间受控系统时，都会遇到把连续时间系统化为等价的离散时间系统的问题。连续线性定常系统其离散化后的方程为其中，T为采样周期第10页，共29页，星期日，2025年，2月5日连续系统离散化采样周期T的选择会影响可控性、可观性的保持问题。(由系统的解出发进行离散化)几个推论：时间离散化不改变系统的时变性或定常性。不管连续系统矩阵A是否为非奇异，但离散化系统的矩阵G一定是非奇异的。第11页，共29页，星期日，2025年，2月5日离散系统的稳定性第12页，共29页，星期日，2025年，2月5日s平面与z平面的映射关系z变换中的复变量z与拉普拉斯变换的复变量s的关系是其中是采样周期，将代入上式有所以即s的实部只影响z的模，s的虚部只影响z的角；左半s平面，即?0z平面单位圆内部，即|z|1s平面虚轴，即?=0右半s平面，即?0z平面单位圆，即|z|=1z平面单位圆外部，即|z|1第13页，共29页，星期日，2025年，2月5日离散系统稳定的判据离散系统稳定的充分必要条件是其特征方程的全部特征根都位于z平面上以原点为圆心的单位圆内。是否存在类似于连续系统的Routh-Hurwitz判据？如果能找到一种变换：，将左半平面变成单位圆内部，那么以z为变量的特征方程就可以变换成以s为变量的方程，从而可以借助于连续系统的Routh-Hurwitz判据来判断离散系统的稳定性。引入变换第14页，共29页，星期日，2025年，2月5日例子已知离散系统的开环传递函数为系统的特征方程为，即直接求解可得闭环特征根为如果做代数变换，令，代入特征方程得利用Hurwitz判据同样可判定系统是稳定的。第15页，共29页，星期日，2025年，2月5日Lyapunov方法连续系统：系统稳定当且仅当存在正定矩阵P使得离散系统：系统稳定当且仅当存在正定矩阵P使得第16页，共29页，星期日，2025年，2月5日离散系统的应用第17页，共29页，星期日，2025年，2月5日菲波纳奇级数与兔口模型兔子的繁殖规律定义x3(t)——第t年新生兔数量（0～1岁）x2(t)——第t年1岁兔数量（1～2岁）x1(t)——第t年2岁兔数量（2～3岁）3岁以上兔子不予考虑。不考虑兔子死亡率x2(t＋1)＝x3(t)x1(t＋1)＝x2(t)x3(t)＝x2(t)＋x1(t)(设第t年每对1岁与2岁兔各生2只小兔)兔口模型第18页，共29页，星期日，2025年，2月5日再设第0年1岁兔为x2(0)＝1万只，2岁兔为x1(0)＝1万只。用迭代法求解上式可以得到xi