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解析几何中减少运算量的常见技巧高中总复习·数学

解析几何中用代数方法研究几何问题是中学数学的重要分支,解题的

第一步通常是把几何条件转化为代数语言,即转化为方程或函数问题;第

二步再对代数式进行转化、化简与求值.因其条件复杂,运算量大,一直

是学生的“痛点”.如何在求解解析几何问题时简化运算步骤,减少运算

量,实现多想少算之目的,下面就从几种技巧入手,予以例析.

一、妙借向量,事半功倍平面向量是衔接代数与几何的纽带,沟通“数”与“形”,融数形于

一体,是数形结合的典范,具有几何形式与代数形式的双重身份,是数学

知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介.妙借向量,可以有效提升圆锥

曲线的解题方向与运算效率,达到良好效果.

??[1,+

∞)

规律方法?

二、直线方程的正设与反设常用的设线方式有以下几种:普通直线情况选用y=kx+m和x=ty

+m;如果已知直线过某点(x0,y0),那么可以选择y-y0=k(x-

x0)和x-x0=t(y-y0)两种方式,需要注意的是,该设法不包含与坐

标轴平行的特殊情况,在书写过程中要注意分类讨论;另外,当直线过非

坐标轴上的定点,例如过点P(3,-5)时,若设y=k(x-3)-5的形

式,那么联立形式太麻烦,此情况我们可以设直线方程为y=kx+m,联

立之后,化简表达式,最终再利用3k+m=-5消元即可.直线和圆相切亦

是如此.

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?

?

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?(1)求椭圆的标准方程;?

??②求证:四边形ABCD的面积为定值.?

?

?

规律方法?

四、非对称化处理??

?(3)解方程组:运用根与系数的关系,由已知可以得到两根x1,x2有一定

的等量关系,这时采用方程组法消去一个根再进行化简,当然也可以由非

对称式转化为对称式处理.

???

?

(2)设直线AD,CB的斜率分别为k1,k2,若k1∶k2=2∶1,求k的值.?

?

1.已知抛物线y=x2-1上一定点B(-1,0)和两个动点P,Q,当P在

抛物线上运动时,BP⊥PQ,则Q点的横坐标的取值范围是()A.(-∞,3]B.(-∞,-3]∪[1,+∞)C.(-∞,-3]D.(-∞,-3]∪[-1,+∞)√

?

2.在平面直角坐标系xOy中,过点F(1,0)的直线l与抛物线C:y2=

4x交于M,N两点(M在第一象限).若|MF|=3|NF|,则直线l的

方程为?.??

???

(2)设过原点的一条射线l分别与(1)中两个椭圆交于A,B两点(其中

点A在线段OB上),求|OA|·|OB|的取值范围.?

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