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圆锥曲线中的创新类问题高中总复习·数学

重点解读随着高考改革的不断深入，高考对学生知识迁移能力、数学思维能力、探究能力的考查不断加强，圆锥曲线中的创新类问题成为了高考命题的热点，圆锥曲线中的创新类问题一般可分为两类：一是“新定义曲线”（如2024·新高考Ⅰ卷11题），二是“新定义交汇题”（如2024·新高考Ⅱ卷19题）.对于“新定义曲线”类问题，要研透“新曲线”的定义和性质，从特殊到一般，结合已学过的知识、方法去解决问题.对于“新定义交汇题”，圆锥曲线可与函数、数列、向量等结合，解这类问题要在深刻理解对应知识的基础上，发现并挖掘题目中蕴含的信息，灵活变换角度，转化为“熟悉”的问题去解决.

目录CONTENTS提能点1新定义曲线01.提能点2新定义交汇问题02.课时跟踪检测03.

PART01提能点1新定义曲线

〔多选〕（2024·新高考Ⅰ卷11题）设计一条美丽的丝带，其造型可

以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横

坐标大于－2；到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之

积为4.则（）A.a＝－2C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1√√√

?

规律方法对于“新定义曲线”类问题，理解“新曲线”的定义（方程）是关

键，通过“新曲线”的定义（方程）结合图形，与学过的研究圆锥曲线的

思路及方法进行合理联想，利用曲线与方程思想即可解决问题.

练1在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax＋by＋c＝0和点P1（x1，

y1），P2（x2，y2），记η＝（ax1＋by1＋c）（ax2＋by2＋c），若η＜0，

则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存

在点P1，P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.（1）求证：点A（1，2），B（－1，0）被直线x＋y－1＝0分隔；解：证明：由题得η＝（1＋2－1）×（－1＋0－1）＝－4＜0，∴点

A，B被直线x＋y－1＝0分隔.

（2）若直线y＝kx是曲线x2－4y2＝1的分隔线，求实数k的取值范围；?

（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨

迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.?

PART02提能点2新定义交汇问题

〔多选〕箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚·阿涅西的深入研究

而闻名于世.如图所示，过原点的动直线交定圆x2＋y2－ay＝0（a＞0）于

点P，交直线y＝a于点Q，过P和Q分别作x轴和y轴的平行线交于点

M，则点M的轨迹叫做箕舌线.记箕舌线函数为f（x），设∠AOQ＝θ，

下列说法正确的是（）A.f（x）是偶函数C.点M的纵坐标为yM＝acos2θD.f（x）的值域是（－∞，1]√√

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规律方法?

??①求证：AO⊥BF2；②求平面AF1F2和平面ABF2所成角的余弦值；

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PART03课时跟踪检测

?A.E关于y轴对称D.曲线E所围成图形的面积小√√

?1234567

2.〔多选〕在平面直角坐标系xOy中，到定点F1（－a，0），F2（a，

0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹是双纽线C.若双纽线C对应的a

＝2，点P（x0，y0）为双纽线C上任意一点，则下列结论正确的是

（）A.C不关于x轴对称B.C关于y轴对称C.直线y＝x与C只有一个交点D.C上存在点P，使得｜PF1｜＝｜PF2｜√√√1234567

?1234567

3.〔多选〕如图，曲线C：x3＋y3－3axy＝0（a＞0）过原点，其渐近线

方程为l：x＋y＋a＝0，则（）A.C关于直线y＝x对称B.点（a，a）位于曲线C围成的封闭区域（阴影部分）外C.若（x0，y0）在C上，则－a＜x0＋y0≤3a√√√1234567

?1234567

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4.Cassini卵形线是由法国天文家Jean-DominiqueCassini（1625—1712）

引入的.卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点S1，S2的距离的乘积

等于常数b2.b是正常数，设S1，S2的距离为2a，如果a＜b，就得到一个

没有自交点的卵形线；如果a＝b，就得到一个双纽线；如果a＞b，就得

到两个卵形线.若S1（－1，0），S2（1，0）.动点P满足｜PS1｜·｜

PS2｜＝1.则动点P的轨迹C的方程为?；若A‘和A是轨迹