拉普拉斯变换及其性质.pptVIP

*第1页，共33页，星期日，2025年，2月5日5.1拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一个信号f(t)满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即当函数f(t)不满足绝对可积条件时，则其傅里叶变换不一定存在。此时，可采取给f(t)乘以因子e–?t(?为任意实常数)的办法，这样即得到一个新的时间函数f(t)e–?t，使其满足条件则函数f(t)e–?t即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子e–?t起着使函数f(t)收敛的作用办法，故称e–?t为收敛因子。*第2页，共33页，星期日，2025年，2月5日它是?+j?的函数，可以写为设函数f(t)e–?t满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过选取恰当的?值来达到)，根据傅里叶变换的定义，则有F(?+j?)的傅里叶反变换为即5.1拉普拉斯变换*第3页，共33页，星期日，2025年，2月5日二．拉普拉斯变换的定义s=?+j?，s为一复数变量，称为复频率。以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换。5.1拉普拉斯变换*第4页，共33页，星期日，2025年，2月5日正变换反变换记作，称为原函数，称为象函数采用系统，相应的单边拉氏变换为考虑到实际信号都是有起因信号所以5.1拉普拉斯变换*第5页，共33页，星期日，2025年，2月5日三拉氏变换的收敛域收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；5.1拉普拉斯变换*第6页，共33页，星期日，2025年，2月5日例信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标?0)解:要使该式成立，必须有?–?，故其收敛域为全s平面，?0=–?。?0时该式成立，故其收敛域为s平面的右半开平面，?0=0。?0时上式成立，故其收敛域为s平面的右半开平面，?0=0。要使该式成立，必须有a+?0，即?–a。故其收敛域为–a以右的开平面，?0=–a。*第7页，共33页，星期日，2025年，2月5日四．一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛3.单位冲激信号*第8页，共33页，星期日，2025年，2月5日4．幂函数tnu(t)四．一些常用函数的拉氏变换*第9页，共33页，星期日，2025年，2月5日5．正余弦信号收敛域收敛域四．一些常用函数的拉氏变换*第10页，共33页，星期日，2025年，2月5日6．衰减的正余弦信号收敛域收敛域四．一些常用函数的拉氏变换*第11页，共33页，星期日，2025年，2月5日5.2拉普拉斯变换的基本性质线性性质延时特性尺度变换特性复频移特性时域微分定理时域积分定理频域微积分定理初值定理和终值定理卷积定理*第12页，共33页，星期日，2025年，2月5日一．线性性质解：例：已知求的拉普拉斯变换若为常数则*第13页，共33页，星期日，2025年，2月5日二．延时特性（时域平移）若则注意：(1)一定是的形式的信号才能用时移性质(2)信号一定是右移(3)表达式等所表示的信号不能用时移性质*第14页，共33页，星期日，2025年，2月5日例：已知求因为所以解：二．延时性质（时域平移）*第15页，共33页，星期日，2025年，2月5日解：4种信号的波形如图例：已知单位斜变信号的拉普拉斯变换为求的拉普拉斯变换二．延时性质（时域平移）*第16页，共33页，星期日，2025年，2月5日只有信号可以用延时性质二．延时性质（时域平移）*第17页，共33页，星期日，2025年，2月5日时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。结论：单边周期信号的拉普拉斯变换等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以例：周期冲击序