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华附、省实、广雅、深中2023级高二下学期四校联考

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

B

D

C

C

C

B

B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分。

题号

9

10

11

答案

BCD

BD

ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.13.14.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.【解析】

(1)由正弦定理知，1分

，

，3分

的周长为，

，

．5分

(2)的面积，7分

8分

由(1)知，，，

由余弦定理得11分

又13分

16.【解析】

(1)连接，由四边形为菱形，得，

又，为等边三角形，

为的中点，，

又，，2分

由四边形为矩形，得，

因为平面平面，平面平面

且平面，

平面，

平面，，5分

，、平面，平面7分

注：位置关系判定条件未写全的酌情扣1-2分

(2)平面，，8分

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示

的空间直角坐标系，9分

则，，，，

，，，11分

设平面的法向量为，则，

取，可得，13分

所以，

所以，直线与面所成角的正弦值为15分

17.【解析】

(1)令，则，1分

①当时，对任意恒成立，

此时在恒成立，在单调递增2分

②当时，对任意恒成立，

此时在恒成立，在单调递减3分

③当时，令得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减5分

因此，

取得，，即；

取得，，即

故7分

(2)法一：题意等价于的不同零点个数，

令，则8分

令，则9分

因此在上单调递增，由于为增函数，故

，

因此存在，使得当时，；当时，

故在递减，在递增，12分

而，，

故在，分别存在唯一零点

因此函数的图象与函数的图象的交点个数为15分

注：利用极限分析酌情给分

法二：题意等价于的不同零点个数

令，则8分

令，则，9分

故在上单调递增，且，

因此存在，使得当时，；当时，

故在递减，在递增，12分

而，，

故在，分别存在唯一零点

因此函数的图象与函数的图象的交点个数为15分

注：利用极限分析酌情给分

18.【解析】

(1)设，由题意得且

，整理得

因此曲线的方程为：(或)3分

(2)由题意得，又，4分

设，

若直线的斜率不存在，则

解得，此时直线过6分

若直线的斜率存在，设，与双曲线联立得

，依题意且

由韦达定理得，8分

整理得，10分

此时恒成立，过

综上所述，直线过定点11分

注：用齐次化方法也相应给步骤分

(3)由(2)知，

①当时，，均在的右支，如图1

此时

故为钝角14分

②当时，，在的两支，如图2，不妨设在的右支

记，此时

故为锐角，因此为钝角

综上所述，三角形为钝角三角形17分

图1图2

19.【解析】

(1)设事件为“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利

法一：

事件等效于甲乙进行5局比赛且甲至少赢3局2分

记5局比赛中甲赢的局数为，由题意得

4分

法二：

事件分三种情况

①比赛局数为3，甲3局全胜

②比赛局数为4，甲第4局胜，前3局输1局

③比赛局数为5，甲第5局胜，前4局输2局

4分

注：缺少必要的文字说明酌情扣1-2分

(2)设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则

且6分

“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利

若第2局甲输，则后续打满局比赛，甲至少胜局

若第2局甲胜，则后续打满局比赛，甲至少胜局

由全概率公式得

故9分

(3)不妨设有无数支粉笔

题意“用了支白粉笔时，至多用了支黄粉笔”

“总共用了支粉笔时，至少用了支白粉笔”10分

设总共用了支粉笔时，白粉笔用了支，则

11分

事件“”等效于甲乙进行“局胜”制游戏，甲乙每局获胜概率都为，最终甲获胜，由对称性可知13分

14分

(注：直接写出酌情给分)

注意到

得证17分