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周期热弹性全平面问题复势解析与多领域应用研究

一、绪论

1.1研究背景与意义

在固体力学领域，周期平面弹性问题的研究始终占据着极为重要的地位，其理论成果不仅为深入理解材料内部力学行为提供了坚实的基础，也在众多实际工程设计场景中展现出了巨大的应用价值。该问题主要分为双周期和单周期两种情形，在岩石力学、混凝土力学以及断裂理论等多个相关学科分支中，均发挥着关键作用。举例来说，在岩石力学研究中，通过对周期平面弹性问题的探讨，能够更精准地剖析岩石在复杂受力条件下的应力分布和变形规律，这对于预测岩石的稳定性、评估地质灾害风险等具有重要意义；在混凝土力学中，有助于优化混凝土材料的配合比设计，提升混凝土结构的耐久性和承载能力。

然而，现有研究在处理周期平面弹性问题时，普遍存在一个局限性，即未充分考虑温度变化这一关键因素。但在现实工程实践中，不同材料之间热膨胀系数的显著差异是无法回避的客观事实。当材料所处环境温度发生改变时，由于各部分膨胀或收缩程度不一致，物体内部必然会产生温度应力。这种温度应力的存在，对复合材料性能往往会产生不可忽视的影响，甚至可能成为导致材料失效、结构破坏的重要诱因。以航空航天领域的复合材料构件为例，在飞行器飞行过程中，构件会经历剧烈的温度变化，温度应力的作用可能会使复合材料内部出现微裂纹、分层等损伤，进而严重威胁飞行器的安全性能。

热弹性力学作为固体力学的一个重要分支，主要聚焦于研究物体因受热引发的非均匀温度场，以及在弹性范围内由此产生的应力和变形问题。在热弹性力学的理论体系中，依据温度和应力同时间的关系，可将相关问题划分为定常热应力问题和非定常热应力问题；而根据温度同变形之间的关系，又可分为耦合热弹性问题和非耦合热弹性问题。其中，定常热应力由定常温度场引起，当瞬态温度变化逐渐趋于零，温度分布达到稳定状态时，可通过热传导方程和温度边界条件求解温度分布，再借助包含温度项的弹性方程得出位移和应力。当前，定常热应力问题的研究重点主要集中在二维热应力问题（如厚壁圆管、圆柱、圆板等结构中的热应力分析）、轴对称温度场中旋转体等的热应力问题、板壳的热弯曲和热皱损问题以及无限板等有内含物的热应力问题。非定常热应力则由非定常温度场导致，原则上属于动力问题，但在温度变化缓慢的情况下，可采用准静态处理方法，将运动视为一连串的平衡状态，按当时温度分布计算热应力。耦合热弹性问题考虑温度与变形的相互作用，热传导方程和热弹性方程需联立求解，难度较大；非耦合热弹性问题在实际应用中较为常见，当耦合项可忽略时，可先求解热传导方程得到温度分布，再求解热弹性方程得到位移和应力。

将周期平面弹性问题与热弹性力学相结合，形成的周期热弹性全平面问题，具有更为复杂的力学行为和重要的研究价值。在现代工程应用中，周期热弹性全平面问题的研究成果有着广泛的应用场景。在光子晶体设计领域，光子晶体作为一种由周期性介质构成的材料，其特殊的光学性质与材料内部的力学性能密切相关。通过对周期热弹性全平面问题的研究，可以深入分析光子晶体的材料性质，精准模拟其在光学设备中的性能表现，为光子晶体的优化设计和应用提供有力的理论支持；在材料热膨胀问题研究中，能够通过相关理论计算和预测材料在不同温度条件下的热膨胀性质，帮助工程师在设计材料组件时，充分考虑热膨胀因素，提高材料组件的可靠性和稳定性；对于纳米机械结构，由于其通常由许多周期性单元组成，在受到力学和热力作用时容易发生变形，周期热弹性全平面问题的研究成果可以用于模拟这种变形过程，进而优化纳米机械的设计，提升其性能和使用寿命；在声波传播问题中，周期性介质中的声波传播会出现复杂的反射和折射等现象，借助周期热弹性全平面问题的研究，可以预测声波的传播性质，为声波信号的有效控制和改善提供科学依据。

综上所述，开展周期热弹性全平面问题的研究，不仅能够弥补现有研究在考虑温度因素方面的不足，完善周期平面弹性问题的理论体系，还能为解决实际工程中诸多复杂问题提供新的思路和方法，具有重要的理论意义和实际应用价值。

1.2国内外研究现状

在固体力学领域，周期平面弹性问题的研究由来已久，国内外众多学者围绕这一主题展开了深入探索，取得了一系列丰硕成果。早期的研究主要聚焦于不考虑温度变化情况下的周期平面弹性问题，在理论分析和数值计算方面均积累了丰富的经验。

在理论分析层面，学者们运用多种数学工具和方法，建立了较为完善的周期平面弹性问题理论体系。复变函数方法在其中发挥了关键作用，通过引入复势函数，将复杂的弹性力学问题转化为复变函数的解析问题，使得求解过程得以简化。例如，Muskhelishvili在其经典著作中，系统阐述了复变函数在弹性力学平面问题中的应用，为后续研究奠定了坚实的理论基础。众多学者基于Muskhelishvili的理论，针对不同的边界条件和