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尊重学生提问，遇见“美丽风景”

摘要：核心素养是当前新课程中非常重要的能力要求，如何提升学生的数学核心

素养是每位数学教师都要研究的课题。下面笔者来分享正、余弦定理教学时如何抓住

学生的“意外提问来培养学生数学思维、提升数学核心素的案列。

关键词：核心素养，学生提问，课堂思考，三角形，总结反思

引言：日常的教学过程中，有时学生会提出些与当堂内容无关的“意外问题，

多数情况下为了在有限的时间内完成既定的教学任务，我们会轻描淡写地回答，或者课

下给予回答。笔者认为，我们应该分情况处理这类问题。有些问题确实意义不大，可以

采用课上做个简单回应，课后和学生单独交流的方式有些问题则恰恰相反，貌似无关，

实则不然，有时甚至需要我们放下所谓的教学进度和原本的计划安排，重调教学内容，

重设教学方向。若我们处理得当，会有意外的惊喜收获。

1.问题引入

课堂开始段时间后，老师给出以下问题。

教师：在DABC中，。为钝角，若a=2,b=3,贝边的取值范围是。

、、、a1+Z?2-C2222

学生1：因为。为钝角，由余弦定理可知cosC=0o即1-cvO,

lab

解得。J13°

教师：这个答案正确吗?有没有同学要补充？

学生2：我觉得不完整，用余弦定理研究边长问题，首先应保证该三角形是存在的，

即保证该任意两边之和大于第三边，故还应限制2+3x,2+c3,解得lvcv5所以。的

取值范围是713c5o

学生都觉得很有道理。于是，笔者顺水推舟地对此做了强调。正当笔者想进入下

道题目时，名学生站了起来，说出他的疑惑。

学生3：老师，之前用余弦定理求边长，从来没有进行三角形是否存在的检验。如

有这样的道题目“在DABC中，已知】=2、疗，）=6,4=30°,求。的值，根据

人2+《2_36+。2_12/o

cosA=,得=—,解得c=2、B或4\厅，就没有对c的这两个值

2bc12c2

1

进行检验。而为什么刚才问题中根据余弦定理求得。的范围后，还要保证这样的。能使

得三角形的任意两边之和大于第三边呢？

这个问题也引起了其他同学的共鸣，大家也都疑惑不解，议论随之展开，还有些

学生陷入沉思和迷茫之中。这个问题完全在笔者的意料之外，可以说是课堂的“突发

事件，坦率地讲这是个很好的问题，即用余弦定理求得三角形的边长后，要不要检

验所求的边长，以保证三角形的任意两边之和大于第三边呢？当时笔者陷入了纠结之

中，若搪塞过去，则可以按照原定的计划进行教学，但对不起学生既充满疑惑又饱含

渴望的眼神；若停下来处理该问题，则不仅这节课原本的计划和节奏会被这个与本节

课主旨无关的问题打乱，而且对于这个问题将会处理得如何也不得而知，但是，可以

肯定点，对这个问题的研究可以提高学生的逻辑思维能力和探究能力。于是，笔者

决定放弃原有的教学计划，引导学生探究这课堂生成的“好问题O

教师：现在我们起来研究这个问题，即用余弦定理求得的三角形的边长后，要不

要再保证三角形的任意两边之和大于第三边？

学生4：需要检验，因为余弦定理成立的前提是该三角形要存在，而求出的边的值

不定满足前提，所以需要检验。在学生3提的这个具体问题中，c的两个值恰好是满

足题意的，这里有偶然的因素，不是必然的结果，所以我觉得定要检验。

学生5：无须检验，由经验得，利用余弦定理求得边的值都满足三角形的任意两边

之和大于第三边。

其他同学基本持以上两种观点。

教师：以上两种观点貌似都有定的道理，还要做进步的分析。

学生6：我觉得利用余弦定理求三角形的边长有这样两种情形：情形是已知两边

及它们的夹角，求第三边；情形二是已知两边