特征值和乘幂法方法.pptVIP

第1页，共37页，星期日，2025年，2月5日引言/*Introduction*/工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。第2页，共37页，星期日，2025年，2月5日G:GoogleMatrix,“theworld’slargestmatrixcomputation”.4,300,000,000x:PageRank（网页级别）vector“The$25,000,000,000Eigenvector”有哪些信誉好的足球投注网站引擎第3页，共37页，星期日，2025年，2月5日设A是n阶矩阵,x是非零列向量.如果有数λ存在,满足Ax=λx,那么,称x是矩阵A关于特征值λ的特征向量.§1特征值与特征向量/*Eigenvalueandeigenvector*/如果把右端写为λIx，那么又可写为:

(λI-A)x=0

即|λI-A|=0记它是关于参数λ的n次多项式，称为矩阵A的特征多项式，其中a0=(-1)n|A|.齐次线性方程组定义1第4页，共37页，星期日，2025年，2月5日A的特征值也称为A的特征根.显然,当λ是A的一个特征值时,它必然是f(λ)=0的根.反之,如果λ是f(λ)=0的根,那么齐次方程组(λI-A)x=0有非零解向量x,使Ax=λx成立.从而，λ是A的一个特征值.矩阵特征值和特征向量有如下主要性质：n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要条件是A有零特征值.设矩阵A与矩阵B相似，那么它们有相同的特征值.n阶矩阵A与AT有相同的特征值.设λi≠λj是n阶矩阵A的两个互异特征值，x、y分别是其相应的右特征向量和左特征向量，那么，xTy=0.定理1定理2定理3定理4第5页，共37页，星期日，2025年，2月5日§2Hermite矩阵特征值问题设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为AH.如果A=AH，那么，A称为Hermite矩阵一、Hermite矩阵的有关性质设是Hermite矩阵A的n个特征值.有以下性质:全是实数.有相应的n个线性无关的特征向量，它们可以化为一组标准酉交的特征向量组,即第6页，共37页，星期日，2025年，2月5日

是酉空间中的一组标准酉交基.记U=(),它是一个酉阵，即UHU=UUH=I，那么即A与以为对角元的对角阵相似A为正定矩阵的充分必要条件是全为正数.第7页，共37页，星期日，2025年，2月5日设是Hermite矩阵A的n个特征值，那么因此又由得定理5证明第8页，共37页，星期日，2025年，2月5日如果A的n个特征值为其相应的标准酉交的特征向量为那么有设A是Hermite矩阵，那么设x是一个非零向量,A是Hermite矩阵,称为矩阵A关于向量x的Rayleigh商，记为R(x).或定理6定理7第9页，共37页，星期日，2025年，2月5日二、极值定理(极值定理)设Hermite矩阵的n个特征值为，其相应的标准酉交特征向量为用Ck表示酉空间Cn中任意的k维子空间，那么或定理8第10页，共37页，星期日，2025年，2月5日矩阵特征值问题的性态是很复杂的，通常分别就单个特征值或整体特征值给出条件数进行分析.对于Hermite矩阵，由于其特征值问题的特殊性质，其特征值都是良态的.下面先证明Hermite矩阵特征值的扰动定理.三、Hermite矩阵特征值问题的性态矩阵特征值问题与求解线性方程组问题一样，都存在当矩阵A的原始数据有小变化(小扰动)时，引起特征值问题