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双因素随机波动率跳扩散模型下复合期权定价的理论与实践探索

一、引言

1.1研究背景与意义

在现代金融市场中，期权作为一种重要的金融衍生品，为投资者提供了多样化的投资策略和风险管理工具。复合期权作为期权的一种特殊形式，赋予持有者在未来某个时刻以特定价格购买或出售另一个期权的权利，由于其独特的双重期权结构，在金融投资、风险管理以及企业战略决策等领域发挥着重要作用。准确对复合期权进行定价，对于投资者合理评估投资价值、制定科学的投资决策以及金融机构有效管理风险至关重要。

传统的期权定价模型，如Black-Scholes模型，虽然在理论研究和实际应用中具有重要地位，但它基于一系列严格的假设条件，如标的资产价格服从对数正态分布、波动率恒定、无风险利率不变以及市场无摩擦等。然而，现实金融市场呈现出高度的复杂性和不确定性，资产价格不仅存在连续的波动，还常常受到突发事件、宏观经济政策调整、企业重大消息等因素的影响，出现跳跃性变化，且波动率也并非固定不变，而是具有时变性和聚集性。在这样的市场环境下，传统模型难以准确刻画资产价格的真实动态过程，导致复合期权定价结果与实际市场价格存在较大偏差，无法满足投资者和金融机构对精确定价的需求。

为了克服传统模型的局限性，学者们不断探索和改进期权定价模型。双因素随机波动率跳扩散模型应运而生，该模型引入了随机波动率和跳跃扩散过程，能够更全面、准确地捕捉金融市场中资产价格的复杂动态变化。随机波动率因素可以有效描述波动率的时变特性，使得模型能够更好地适应市场波动的不确定性；跳跃扩散过程则考虑了资产价格的跳跃现象，能够反映市场中的突发事件对资产价格的瞬间冲击，这对于准确刻画金融市场中的极端风险事件具有重要意义。通过将这两个因素纳入模型，双因素随机波动率跳扩散模型能够更真实地反映金融市场的实际情况，为复合期权提供更为精确的定价。

准确的复合期权定价对于投资者和金融机构的决策具有关键作用。对于投资者而言，精确的定价结果有助于其合理评估复合期权的价值，判断投资的可行性和潜在收益，从而制定更加科学、合理的投资策略，避免因定价偏差导致的投资失误，提高投资组合的效率和收益水平。在金融机构的风险管理方面，准确的定价是有效对冲风险、保障自身稳健运营的基础。金融机构可以根据精确的定价结果，合理调整资产负债结构，运用复合期权进行风险对冲，降低市场风险对自身的影响，确保在复杂多变的金融市场中保持稳定的经营状态。此外，准确的复合期权定价还有助于促进金融市场的公平和效率，推动金融市场的健康发展。

综上所述，研究双因素随机波动率跳扩散模型下的复合期权定价具有重要的理论和现实意义。在理论层面，它丰富和完善了期权定价理论，为金融数学领域的研究提供了新的思路和方法；在实践层面，它能够为投资者和金融机构提供更准确的定价工具，帮助其更好地应对金融市场的不确定性，做出更加明智的决策，从而提升金融市场的运行效率和稳定性。

1.2国内外研究现状

复合期权定价的研究始于20世纪70年代，Geske（1979）首次在Black-Scholes模型的框架下，推导出了简单的两期复合欧式期权模型封闭形式的解，为复合期权定价理论奠定了基础。此后，众多学者围绕复合期权定价展开了深入研究，研究方向主要集中在对简单复合期权模型的扩展以及数值求解方法的改进。

在模型扩展方面，一方面是从简单的二期复合向多期复合的推广。Dixit和Pindyck（1994）将多期序列投资看成是多期复合期权，分别采用动态规划方法和相机权益分析（CCA）方法建立定价的偏微分方程，在一定的边界条件下求得复合期权价值函数以及执行阈值的解析解，但仅在特定边界条件下有效，多数情况仍需数值求解。Alvarez和Stenbacka（2001）基于马尔科夫泛函的格林表示提出一种通用计算方法，可系统计算复合期权价值函数和刻画最优执行规则。Lin（2004）将简单复合期权模型结论推广到多期情形，给出欧式多期复合期权解的一般形式，但解中存在嵌套高维正态积分，求解数值解计算资源耗费大。

另一方面是对描述标的资产价值运动过程的随机微分方程的改进。Buraschi和Dumas（1996）放松几何布朗运动假设，研究标的资产价值服从一般扩散过程情形下复合期权的定价，导出由欧式期权价格边界上的前向积分表达的解析定价公式。Geman、EIKaroui和Rochet以及Elettra和Rossella（1995）引入变波动率，并同时考虑资产价值和利率两个因素，将复合期权模型扩展到两因素情形，沿用传统解析求解方法导出两期欧式复合看涨期权的解析定价公式，但公式包含高维积分，多期扩展后计算困难。

在数值求解方法上，Trigeorgis（1991）将二项式定价方法变形，提出“对数变