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2025届高三数学高考二轮专题复习：数列解答题专练

1．已知等差数列的前n项和为，满足，．

(1)求数列的通项公式．

(2)求证：

2．已知等差数列的前项和为，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，设数列的前项和为，求.

3．已知是公差不为0的无穷等差数列.若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质.

(1)已知，，判断数列，是否具有性质；

(2)若数列具有性质，证明：的各项均为整数；

(3)若，求具有性质的数列的个数.

4．已知等差数列的前项和为．

(1)求的通项公式；

(2)求的前项和．

5．已知等差数列的前n项和为，且，．

(1)求；

(2)若数列满足，求数列的前20项和．

6．若数列的首项，且满足．

(1)证明:数列是等比数列；

(2)若，求满足条件的最小整数n．

7．已知数列的前项和为，．

(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前项和；

(2)设，求数列的前项和．

8．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，.

(1)求的通项公式；

(2)当时，记，求数列的前项和.

9．已知数列满足：①，②，则称数列有性质Ω，数列称为“Ω数列”，记．

(1)若，写出的所有可能值（直接给出答案即可）；

(2)当，时，设；数列为等差数列．请判断p是q的什么条件？并说明理由；

(3)若Ω数列符合且，记集合．在中任取两个不同元素x，y，求：x且的概率最大值．

10．若数列对于任意的，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．设数列的前项和为，，对于任意的，都有．

(1)求证：数列为准等差数列；

(2)求数列的通项公式及前项和．

11．若取一个数列的每一项与其后两项的乘积构成一个新数列，则定义该新数列为原数列的三项相乘数列．如数列1，1，3，2，1，4，6，?的三项相乘数列为3，6，6，8，24，…．记为正项数列的前项和，已知．

(1)求的通项公式；

(2)若数列为的三项相乘数列，证明．

12．已知是无穷正整数数列，且对任意的，其中表示有穷集合S的元素个数．

(1)若，求的所有可能取值；

(2)求证：数列中存在等于1的项；

(3)求证：存在，使得集合为无穷集合．

13．已知.

(1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式；

(2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

14．已知等差数列的前项和为，且，．

(1)求的通项公式；

(2)求；

(3)若时，有，求的最小值．

15．正项等比数列的前项和为，满足，．

(1)求的通项公式；

(2)若为的前n项积，求的最大值（可以用指数式表示），并求出最大时的值．

16．已知函数．

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在上单调递增，求实数的值；

(3)已知数列满足，，证明：．

17．已知递增等比数列中，，设．

(1)求的通项公式；

(2)求的前项和．

18．已知是数列的前项和，数列是首项为2，公比为2的等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，求数列的前项和.

19．已知正项数列的前项的和为，且.

(1)求，；

(2)证明：是等差数列；

(3)求数列的前项的和.

20．已知数列与都是等差数列，其前项和分别为与，且，，，.

(1)求数列与的通项公式；

(2)求数列的前项和.

《2025届高三数学高考二轮专题复习：数列解答题专练》参考答案

1．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项公式求出首项和公差即可得解；

（2）根据，利用裂项相消法求和，即可得证.

【详解】（1）等差数列中，设公差为，

，

，

所以，故；

（2），

当时，成立；

当时，，

所以成立.

2．(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列通项公式及前项和公式列式求出首项、公差即可.

（2）由（1）的结论，利用并项求和法及等差数列前项和公式求和可得结果.

【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，

由，，得，

化简得，解得，，

所以数列的通项公式为.

（2）由，得，

则

.

3．(1)数列具有性质；数列不具有性质

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据数列具有性质的定义即可求解.

（2）设数列的公差为，由题意知存在，同理存在，两式相减，根据等差数列的定义即可得证.

（3）由题意结合（2）知数列的各项均为整数，所以为整数.首先证明为正整数，其次证明为的约数，从而即可得解.

【详解】（1），，即，所以数列具有性质.

，令，则，不符合，则不具有性质.

（2）设数列的公差为，因为数列具有性质，所以存在，

同理存在，两式相减得，

即，因为，所以.所以的各项均为整数.

（3）由（2）可知，数列的各项均为整数，所以为整数.

假设为负整数，则为递减数列，所以中各项最大值为，

由题意，中存在某项，且，所以，

而数列中存在，则，与题意相矛盾