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1复变函数论多媒体教学课件DepartmentofMathematics第二节用留数计算定积分
利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；我们只讨论应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论。由于时间的关系，我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题，同学们可以自学。010203留数定理的应用--积分的计算:利用留数计算积分的特点：
3思想方法:封闭路线的积分.两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条形如
当历经变程时,的正方向绕行一周.z沿单位圆周z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点.注:
例1解故积分有意义.
因此
例2计算积分则此时注:解
例3计算解由留数定理
由留数定理
例4计算积分logo注:解
在许多实际问题中，往往要求计算反常积分的值，如数学分析计算这些积分麻烦,无统一方法;用留数计算,较简捷.0102
1引理6.101证明02因为03于是有04
于是有
2定理6.7
证明由条件(1),(2)及数学分析的结论,知x根据留数定理得:..
或写成因为
例5解
例6解
引理6.2xy..
01证明02于是就有03于是由Jordan不等式
将(6.13)化为应用引理6.2,完全和证明定理6.7一样可得
2定理6.8则有注:将(6.14)分开实虚部,就可得到形如的积分.
根据留数定理得:x证明..
或写成因为
0102解且在上半平面只有二级极点例7计算积分
上无孤立奇点.注意以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴
引理6.3证明因为于是有四计算积分路径上有奇点的积分
于是有
例8计算积分logo解即
由引理6.2知由引理6.3知
五杂例则例9解它是一个整函数,
而
比较两端实部与虚部即得01弗莱聂尔(frensnel)积分02即03
39本节结束谢谢！ComplexFunctionTheoryDepartmentofMathematics
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