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第一章集合与常用逻辑用语第三节充分条件、必要条件与命题的四种形式抓基础明考向提能力教你一招我来演练
[备考方向要明了]考什么1.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
怎么考1.本部分主要考查四种命题的概念及其相互关系,考查充分条件、必要条件、充要条件的概念及应用.2.题型主要以选择题、填空题的形式出现,常与集合、不等式、几何等知识相结合命题.
一、充分条件、必要条件与充要条件1.“若p,则q”形式的命题为真时,记作p?q,称p是q的条件,q是p的条件.2.如果既有p?q,又有q?p,记作p?q,则p是q的条件,q也是p的条件.充分必要充要充要
四种命题及其关系四种命题间的相互关系
不等价四种命题间的真假关系:互为逆否的两个命题.互逆或互否的两个命题.等价(同真同假)
(教材习题改编)|x|1是x1的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件解析:|x|1?x1或x-1,故x1?|x|1,但|x|1x1,∴|x|1是x1的必要不充分条件.答案:B
2.(2010·福建高考)若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析:当x=4时,a=(4,3),则|a|=5;若|a|=5,则x=±4.故“x=4”是“|a|=5”的充分而不必要条件.答案:A
3.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是 ()A.若a≠b≠0,a,b∈R,则a2+b2=0B.若a=b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0C.若a≠0且b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0解析:写逆否命题只要交换命题的条件与结论,并分别否定条件与结论即可.答案:D
解析:原命题的条件:在△ABC中,∠C=90°,结论:∠A、∠B都是锐角.否命题是否定条件和结论.即“在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是锐角”.答案:在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是锐角.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A、∠B都是锐角”的否命题为:________.
答案:充分不必要(教材习题改编)设集合M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N?M”的________条件.
充分条件与必要条件的两个特征.对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“p?q”?“q?p”;传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件.010302
由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而,当判断原命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假,这就是常说的“正难则反”.2.从逆否命题,谈等价转换.
[精析考题][例1](2011·山东高考)已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是()若a+b+c≠3,则a2+b2+c23若a+b+c=3,则a2+b2+c23若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3
[自主解答]a+b+c=3的否定是a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3的否定是a2+b2+c23.01[答案]A02
[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!)1.(2012·杭州四校联考)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是 ()A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
解析:由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”.01答案:C01
(2011·北京昌平区一模)已知命题“函数f(x)、g(x)
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