2026年人教版高考数学一轮总复习考点规范练56离散型随机变量及其分布列.docxVIP

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考点规范练56离散型随机变量及其分布列

一、基础巩固

1.已知随机变量X的分布列为

X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

P

2

2

2

2

2

2

2

2

2

m

则P(X=10)等于()

A.239 B

C.139

答案:C

解析:P(X=10)=1-23-…-239=1

2.已知随机变量X的分布列为

X

-1

0

1

P

a

b

c

其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)等于()

A.13

C.12

答案:D

解析:因为a,b,c成等差数列,

所以2b=a+c.

所以a+b+c=3b=1,即b=1

所以P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=1-P(X=0)=1-1

3.设随机变量X等可能取值1,2,3,4,…,n,如果P(X4)=0.3,那么n的值为()

A.3 B.4

C.10 D.不能确定

答案:C

解析:由题意知P(X=i)=1n,i=1,2,3,…,n

所以P(X4)=3n=0.

解得n=10.

4.若随机变量X的分布列为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),则P(1

A.23

C.45

答案:D

解析:由已知得P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=a1×2+a

故P12X52=P(X=1)+P(

5.同时抛掷3枚质地均匀的骰子,设出现6点的骰子个数为X,则P(X2)=.?

答案:25

解析:依题意,P(X2)=P(X=0)+P(X=1)=5

6.由于电脑故障,导致随机变量X的分布列中部分数据丢失,用□代替.已知X的分布列为

X

1

2

3

4

5

6

P

0.2

0.1

0.□5

0.1

0.1□

0.2

则X取奇数值时的概率是.?

答案:0.6

解析:由离散型随机变量分布列的性质,可求得P(X=3)=0.25,P(X=5)=0.15,故X取奇数值时的概率为P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)=0.2+0.25+0.15=0.6.

7.已知4本笔记本的标价分别为10元、20元、30元、40元.

(1)从中任取1本,求其标价X的分布列;

(2)从中任取2本,若以Y表示取到的笔记本的最高标价,求Y的分布列.

解:(1)X的可能取值分别为10,20,30,40,且取得任意一本的概率相等,故X的分布列为

X

10

20

30

40

P

1

1

1

1

(2)根据题意,Y的可能取值为20,30,40,

P(Y=20)=1C

P(Y=30)=2C

P(Y=40)=3

故Y的分布列为

Y

20

30

40

P

1

1

1

8.在一次购物抽奖活动中,假设某10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从这10张奖券中任意抽2张.

(1)求该顾客中奖的概率;

(2)设该顾客获得的奖品总价值为X,求X的分布列,并求P(5≤X≤25).

解:(1)依题意,该顾客中奖的概率P=1-C62C10

(2)由已知得X的可能取值为0,10,20,50,60,

P(X=0)=C6

P(X=10)=C3

P(X=20)=C3

P(X=50)=C1

P(X=60)=C

故X的分布列为

X

0

10

20

50

60

P

1

2

1

2

1

P(5≤X≤25)=P(X=10)+P(X=20)=2

二、综合应用

9.已知随机变量X的分布列为

X

0

1

2

P

a

b

c

其中a,b,c成等差数列,则函数f(x)=x2+2x+X有且只有一个零点的概率为()

A.16

C.12

答案:B

解析:由题意知2

解得b=1

因为f(x)=x2+2x+X有且只有一个零点,

所以Δ=4-4X=0,

解得X=1.

所以所求概率为P(X=1)=1

10.若随机变量X的分布列为

X

0

1

2

P

1

a

b

则a2+b2的最小值为.?

答案:2

解析:由题意知13+a+b=1,且0≤a≤1,0≤b≤

所以a+b=23

所以(a+b)2=a2+b2+2ab=49≤2(a2+b

当且仅当a=b=13时,等号成立

所以a2+b2≥

故a2+b2的最小值为2

11.某科研人员为研究对某病毒有效的疫苗,通过小鼠进行毒性和药效预实验.已知5只小鼠中有1只患有这种病毒引起的疾病,需要通过化验血液来确定患病的小鼠.血液化验结果呈阳性的为患病小鼠,呈阴性的为未患病小鼠.下面是两种化验方案:

方案甲:逐个化验,直到能确定患病小鼠为止.

方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性,则表明患病的为这3只中的1只,再逐个化验,直到能确定患病小鼠为止;若结果呈阴性,则在另外2只中任取1只化验.分别求方案甲化验次数X的分布列和方案乙化验次数Y的分布列.

解:方案甲化验次