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考点规范练56离散型随机变量及其分布列
一、基础巩固
1.已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m
则P(X=10)等于()
A.239 B
C.139
答案:C
解析:P(X=10)=1-23-…-239=1
2.已知随机变量X的分布列为
X
-1
0
1
P
a
b
c
其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)等于()
A.13
C.12
答案:D
解析:因为a,b,c成等差数列,
所以2b=a+c.
所以a+b+c=3b=1,即b=1
所以P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=1-P(X=0)=1-1
3.设随机变量X等可能取值1,2,3,4,…,n,如果P(X4)=0.3,那么n的值为()
A.3 B.4
C.10 D.不能确定
答案:C
解析:由题意知P(X=i)=1n,i=1,2,3,…,n
所以P(X4)=3n=0.
解得n=10.
4.若随机变量X的分布列为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),则P(1
A.23
C.45
答案:D
解析:由已知得P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=a1×2+a
故P12X52=P(X=1)+P(
5.同时抛掷3枚质地均匀的骰子,设出现6点的骰子个数为X,则P(X2)=.?
答案:25
解析:依题意,P(X2)=P(X=0)+P(X=1)=5
6.由于电脑故障,导致随机变量X的分布列中部分数据丢失,用□代替.已知X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
P
0.2
0.1
0.□5
0.1
0.1□
0.2
则X取奇数值时的概率是.?
答案:0.6
解析:由离散型随机变量分布列的性质,可求得P(X=3)=0.25,P(X=5)=0.15,故X取奇数值时的概率为P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)=0.2+0.25+0.15=0.6.
7.已知4本笔记本的标价分别为10元、20元、30元、40元.
(1)从中任取1本,求其标价X的分布列;
(2)从中任取2本,若以Y表示取到的笔记本的最高标价,求Y的分布列.
解:(1)X的可能取值分别为10,20,30,40,且取得任意一本的概率相等,故X的分布列为
X
10
20
30
40
P
1
1
1
1
(2)根据题意,Y的可能取值为20,30,40,
P(Y=20)=1C
P(Y=30)=2C
P(Y=40)=3
故Y的分布列为
Y
20
30
40
P
1
1
1
8.在一次购物抽奖活动中,假设某10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从这10张奖券中任意抽2张.
(1)求该顾客中奖的概率;
(2)设该顾客获得的奖品总价值为X,求X的分布列,并求P(5≤X≤25).
解:(1)依题意,该顾客中奖的概率P=1-C62C10
(2)由已知得X的可能取值为0,10,20,50,60,
P(X=0)=C6
P(X=10)=C3
P(X=20)=C3
P(X=50)=C1
P(X=60)=C
故X的分布列为
X
0
10
20
50
60
P
1
2
1
2
1
P(5≤X≤25)=P(X=10)+P(X=20)=2
二、综合应用
9.已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
a
b
c
其中a,b,c成等差数列,则函数f(x)=x2+2x+X有且只有一个零点的概率为()
A.16
C.12
答案:B
解析:由题意知2
解得b=1
因为f(x)=x2+2x+X有且只有一个零点,
所以Δ=4-4X=0,
解得X=1.
所以所求概率为P(X=1)=1
10.若随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
1
a
b
则a2+b2的最小值为.?
答案:2
解析:由题意知13+a+b=1,且0≤a≤1,0≤b≤
所以a+b=23
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=49≤2(a2+b
当且仅当a=b=13时,等号成立
所以a2+b2≥
故a2+b2的最小值为2
11.某科研人员为研究对某病毒有效的疫苗,通过小鼠进行毒性和药效预实验.已知5只小鼠中有1只患有这种病毒引起的疾病,需要通过化验血液来确定患病的小鼠.血液化验结果呈阳性的为患病小鼠,呈阴性的为未患病小鼠.下面是两种化验方案:
方案甲:逐个化验,直到能确定患病小鼠为止.
方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性,则表明患病的为这3只中的1只,再逐个化验,直到能确定患病小鼠为止;若结果呈阴性,则在另外2只中任取1只化验.分别求方案甲化验次数X的分布列和方案乙化验次数Y的分布列.
解:方案甲化验次
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