函数项级数及幂级数.pptxVIP

第二节函数项级数一函数项级数的概念二函数项级数举例

1.定义设是定义在上的函数,则由其构成的表达式称为定义在区间上的函数项无穷级数,简称函数项级数.例如级数一函数项级数的概念

2.收敛点与收敛域(1)如果,常数项级数收敛,则称为级数的收敛点,否则称为发散点.(2)函数项级数的所有收敛点的全体称为收敛域,所有发散点的全体称为发散域.

（3）余项(x在收敛域上)3.和函数(Sumfunction)（2）函数项级数的部分和(1)在收敛域上,函数项级数的和是的函数,称为函数项级数的和函数.注：函数项级数在某点的收敛问题,实质上是常数项级数的收敛问题.

二函数项级数举例例1求的和函数.解前n项部分和

例2求的收敛域.的定义域为解故级数的收敛域为

3.8课前回顾一、绝对收敛和条件收敛二、常数项级数复习1、掌握一些基本概念：级数,部分和,收敛,正项级数,交错级数,任意项级数，绝对收敛，条件收敛等2、能用级数收敛的必要条件证明级数发散，掌握2个重要级数：几何级数和p级数3、能根据具体题目灵活运用比较审敛法和比值（根值）审敛法判断正项级数的敛散性4、会用莱布尼茨定理判断交错级数的敛散性三、函数项级数函数项级数，收敛点，收敛域，发散点，发散域，和函数

第三节幂级数一幂级数及其收敛性二幂级数的运算及其性质

2.收敛性:当时,收敛；当时,发散.例如级数收敛域发散域1.定义1当时,其中为幂级数系数.一幂级数及其收敛性

定理1阿贝尔（Abel）定理如果级数在处收敛,则它在满足不等式的一切处绝对收敛；如果级数在处发散,则它在满足不等式的一切处发散.证明收敛,

使得当时,等比级数收敛,收敛,即级数收敛.

假设当时发散,几何意义收敛区域发散区域发散区域而有一点适合使级数收敛.由(1)结论,则级数当时应收敛,这与所设矛盾.

推论如果幂级数不是仅在一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数存在,使得当时,幂级数绝对收敛；当时,幂级数发散；当与时,幂级数可能收敛也可能发散；

问题如何求幂级数的收敛半径?定义2正数R称为幂级数的收敛半径.开区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间.从而决定了收敛域为以下四个区间之一:规定收敛域(1)幂级数只在处收敛,收敛域(2)幂级数对一切都收敛,

证明对级数应用达朗贝尔判别法()或定理2如果幂级数的所有系数,设(1)则当时,(2)则当时,(3)则当时,

如果存在由比值审敛法,当时,级数收敛,从而级数绝对收敛.当时,级数发散,并且从某个n开始从而级数发散,收敛半径

定理证毕.从而级数绝对收敛.收敛半径如果有级数收敛,级数必发散.如果(否则由定理1知将有点使收敛)收敛半径

例1求下列幂级数的收敛区间:解该级数发散；当时,级数为该级数收敛；当时,级数为故收敛域是

故收敛域是级数只在处收敛.

解发散.?收敛域为

解（缺少偶次幂的项）收敛；发散.发散.收敛域为

另解发散.（间接地用R的计算公式）

例3求幂级数的收敛域.解令,原级数化为

当时,,级数发散,当时,,级数收敛,原级数的收敛域为的收敛域为

1.代数运算性质(1)加（减）法(其中设和的收敛半径分别为二幂级数的运算及其性质