超难奥数之数论专题穷举用技巧.pdfVIP

穷举用技巧

【例1】

N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。N的最大值是。

【例2】

如果连续N个自然数，每个自然数的数字和都不是11的倍数，则称这连续的N个自然数为

一条“龙”，n为这条龙的长度。比如1，2，3，…，28就是一条龙，它的长度是28。问：

龙的长度最长可以为多少？写出一条最长的龙。

【例3】

黑板上写有1、2、3、……、100这100个自然数，甲、乙二人轮流每次每人划去一个数，

直到剩下两个数为止。如剩下的两数互质则判甲胜，否则判乙胜。

⑴乙先划甲后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？

⑵甲先划乙后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？

【例4】

如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？

测试题

【例1】求所有能被30整除，且恰有30个不同约数的自然数。

1

【例2】在到100中，恰好有6个约数的数有多少个？

答案：

【例1】【分析】

由于30=2×3×5，从质数的观点看整除，如果自然数N能被30整除，那么自然数

N至少含有三个质因数2，3，5。设：N=2r1×3r2×5r3×。自然数N恰有30个不

同的因数，根据约数的个数：（r+1）×（r+1）×（r+1）×=30=2×3×5。注意

123

到2×3×5是三个约数之积，由此可知自然数N中质因数的个数恰好有3个。因此

（r+1）×（r+1）×（r+1）=2×3×5，由此可知（r，r，r）必是（1，2，4）的一个排列。

123123

综上所述，所求的自然数有：2×324422442

×5，2×3×5，2×3×5，2×3×5，

4224

2×3×5，2×3×5。

【例2】【分析】

6只能表示为(5+1)或(1+1)(2+1)，所以恰好有6个约数的数要么能表示成某个质

数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的

只有32，符合后者的数枚举如下：

2222222