四边形中的四大重难点模型 暑假作业（含解析）数学八年级苏科版.docxVIP

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限时练习：120min?????完成时间：月日天气：

作业四边形中的四大重难点模型

要点一、手拉手模型（含“双正方形型”等4类）

1、双正方形型

如图，四边形ABCFD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N．

结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE．

2、双等腰三角形型

这是最为基础且常见的一种类型．两个等腰三角形通过连接它们的底角顶点，形成了一个简单而优雅的手拉手结构．这种模型在解决与等腰三角形相关的几何问题时，具有极高的应用价值．

如图，△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F．

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠AFD．

3、双等腰直角三角形型

在等腰直角三角形中，90度的直角和两个相等的锐角为构建手拉手模型提供了独特的条件．这种模型在解决与角度和边长有关的几何问题时，往往能发挥出意想不到的效果．

如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N．

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND．

4、双等边三角形型

等边三角形由于其特殊的性质，使得构建出的手拉手模型更加复杂且富有变化．多个等边三角形可以组合成各种美丽的几何图案，如正六边形、星形等．这些图案不仅具有观赏价值，还是解决某些特定几何问题的有力工具．

如图，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F．

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD．

要点二、半角模型（含“正方形半角模型”等5类）

1、正方形半角模型

如图，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；

结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB；

⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD．

2、等腰直角三角形半角模型

如图，ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；

结论：①△BAD≌△CAF；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=90°；④DE2＝BD2＋EC2；

3、等边三角形半角模型（60°-30°型）

如图，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；

结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+；

4、等边三角形半角模型（120°-60°型）

如图，ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；

结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④△AEF的周长=2AB；

⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC．

5、半角模型（-型）

如图，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；

结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-．

要点三、对角互补模型

1、“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）

如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90o，OC平分∠AOB．

结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③．

证明示例：

（证法一）如图（中），过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N．

∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），

在正方形MONC中，由题意可得∠MCN＝360o－∠CMO－∠AOB－∠CNO＝90o，∴∠MCD＋∠DCN＝90o，

又∵∠DCE＝90o，∴∠ECN＋∠MCD＝90o，∴∠MCD＝∠ECN，

∴△CDM≌△CEN，∴CD＝CE，∴结论①成立；

∵四边形MONC为正方形，∴OM＝ON＝OC，

又∵OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝OD＋ON＋DM＝OM＋ON，∴OD＋OE＝OC，∴结论②成立；

∴，∴结论③成立．

（证法二）如图（后），过点C作CF⊥OC交OB于点F，

∵OC平分∠AOB，∴∠DOC＝∠EOC＝45°，∴△COF是等腰直角三角形，

∴CO＝CF，∠CFO＝∠COD＝45°，

又∵∠DCO＋∠OCE＝∠ECF＋∠OCE＝90°，∴∠DCO＝∠ECF，∴△COD≌△CFE，

∴OD＝EF，CD＝CE，∴结论①成立；

∵∴△COF是等腰直角三角形，∴OF＝OC；

又∵OD＋OE＝EF＋OE＝OF，∴OD＋OE＝OC，∴结论②成立；

，∴结论③成立．

2、“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）

如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝