不定积分的计算.pptxVIP

第五节不定积分的计算一第一类换元积分法二第二类换元积分法三分部积分法四几类特殊函数的积分

一、第一类换元积分法设则如果（可微）由此可得不定积分的一个重要特性——积分形式的不变形。

定理1设具有原函数，可导，则有以下公式（1）

说明：1.定理1说明不论积分变量是自变量还是中间变量不定积分形式总是不变的。即原来对变量x的积分可通过变量代换变成对变量u的积分。这种计算不定积分的方法称为第一类换元法，也称凑微分法。2.使用公式(1)的关键在于将化为，进而化为

例1求解：被积函数中的一个因子为，；剩下的因子恰好是中间变量的导数，于是有

例2求解：

例3求解法一:解法二：解法三：

一般地，对于积分总可以取，使之化为

例4求解：

一般地，对于积分总可以取，使之化为

例5求解：熟练以后就不需要进行转化了

例6求类似地，解：

例7求解：

例8求解：

例9求解：

例10求解法一：

解法二:

例11求解：

例12求解法一:（使用了三角函数恒等变形）

类似地可推出解法二：（应用例9的结论）òxdxcsc

例13求解：

例14求解：当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分。

例15求解：

logo二、第二类换元积分法凑微分法是通过中间变量将积分化成,下面要介绍的换元积分法是通过变量代换将积分化为积分

证：设为的原函数,令则定理2设是单调的、可导的函数,并且，又设具有原函数，则有换元公式其中是的反函数

这说明为的原函数。（2）式为第二类换元积分公式

例16求解:

例17求解：令其中

例18求解:令其中

说明以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令

基本积分表

例19求解:

例20求解:

例21求解:

定理3设，具有连续导数，则三、分部积分法（3）式为分部积分公式或（3）

或写成得证明：由乘积的求导公式故

例22求如果令显然，选择不当，积分更难进行解:令则

容易积出。要容易求得；选取和一般要考虑下面两点：要比

例23求解：（再次使用分部积分法）总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)。

例24求解：

例25求解：令

例26求解:当分部积分公式比较熟练之后，就不必再把和写出来了，只要把被积表达式凑成的形式，便可使用分部积分法。

总结如果被积函数是幂函数与对数函数的乘积或幂函数与反三角函数的乘积，可设为对数函数或反三角函数.

例27求解：

又解：

总结若被积函数是指数函数与三角函数的乘积，则可任选，但应注意接连几次应用分部积分公式时所选的应为同类型函数。

例28求解：

四、几类特殊函数的积分两个多项式的商表示的函数。有理函数的定义其中都是非负整数；及都是实数，并且1.有理函数的积分

假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式。有理函数有以下性质1）利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和。例如，我们可将化为多项式与真分式之和

其中都是待定的常数。2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和。最简分式是下面两种形式的分式

特殊地：分解后为3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：（1）分母中若有因式，则分解后为其中都是待定的常数

（2）分母中若有因式，其中则分解后为其中iiNM,都是